BZOJ3517 翻硬币

原题链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3517

翻硬币

Description

有一个n行n列的棋盘，每个格子上都有一个硬币，且n为偶数。每个硬币要么是正面朝上，要么是反面朝上。每次操作你可以选定一个格子(x,y)，然后将第x行和第y列的所有硬币都翻面。求将所有硬币都变成同一个面最少需要的操作数。

Input

第一行包含一个正整数n。
接下来n行，每行包含一个长度为n的01字符串，表示棋盘上硬币的状态。

Output

仅包含一行，为最少需要的操作数。

Sample Input

4
0101
1000
0010
0101

Sample Output

HINT

【样例说明】

对(2,3)和(3,1)进行操作，最后全变成1。

【数据规模】

对于100%的数据，n ≤ 1,000。

题解

最暴力的思路当然是列n2n2n^2个异或方程组，然后高斯消元去接一个n2n2n^2个方程，nnn个未知数的方程组，大概是O(n4)" role="presentation" style="position: relative;">O(n4)O(n4)O(n^4)的。。。

我们不如拿个2×22×22\times 2的矩阵玩玩，设aaa是否翻转为a" role="presentation" style="position: relative;">aaa取值000或1" role="presentation" style="position: relative;">111，aaa的目标状态为a′" role="presentation" style="position: relative;">a′a′a'，b,c,db,c,db,c,d以此类推：

那么我们可以列出四个方程：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a xor b xor c=a′a xor b xor d=b′a xor d xor c=c′d xor b xor c=d′(1)(2)(3)(4){axorbxorc=a′(1)axorbxord=b′(2)axordxorc=c′(3)dxorbxorc=d′(4)

\left\{ \begin{array}\\ a\ xor\ b\ xor\ c=a'&&(1)\\ a\ xor\ b\ xor\ d=b'&&(2)\\ a\ xor\ d\ xor\ c=c'&&(3)\\ d\ xor\ b\ xor\ c=d'&&(4) \end{array}\right.

貌似这些式子有点奇妙？？

我们把(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)式异或起来：

a=a′ xor b′ xor c′a=a′xorb′xorc′

a=a'\ xor\ b'\ xor\ c'

震惊，其他未知数都被消掉了！！！其他的式子似乎也是如此，好像我们只需要将那某个点所在的一行一列的数全部异或起来，就能知道这个点是否需要反转。

推广一下：因为nnn是偶数，所以一定可以通过将2n−1" role="presentation" style="position: relative;">2n−12n−12n-1个方程异或起来得到上面的那种形状。

事情变得简单起来。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define val (sq[i][j]-'0')
using namespace std;
const int M=1e3+5;
int n;
bool x[M],y[M];
char sq[M][M];
void in()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%s",sq[i]+1);for(int j=1;j<=n;++j)x[i]^=val,y[j]^=val;}
}
void ac()
{int ans=0;for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)ans+=x[i]^y[j]^val^1;printf("%d",min(n*n-ans,ans));
}
int main()
{in();ac();return 0;
}