分形理论中的分维解析

最近打算利用一段时间好好学习一下分形理论，也写一系列博客记录下自己的学习归纳情况。下面是这部分文章的目录：

一、分形理论的历史过程

二、分形理论的基础概念

三、分形理论的分维解析

四、分形理论的Hausdorff维数

五、分形理论的盒维数

六、分形理论在计算机图形中的应用（待定）

Blogger：LinJM 微博（LinJM-机器视觉）

分维又叫做分形维数, 是分形理论中最重要的一个概念, 它是对非光滑、非规则、破碎的等极其复杂的分形客体进行定量刻划的重要参数, 它表征了分形体的复杂程度、粗糙程度,即就是分维越大, 客体就越复杂、越粗糙, 反之亦然。

维数概念历来在数学和物理学中占据着重要的地位。按传统的观点, 维数是确定系统状态的独立变量, 只能取整数。然而, 在分形理论中, 对于一个分形客体, 它的维数一般都不限于整数, 而可取任何实数值。整数维数只代表几何对象占有或填充空间能力连续变化过程中的质变的几个关节点, 分维则代表不同关节点之间的中介过渡态。分形几何及其分维概念否定了在传统几何中点、线、面、体等之间性质全然不同的绝对分明的界限, 深刻地提示了点线面体之间、整形( 即规则图形) 与分形之间、维数的离散与连续之间的辩证关系。比如, 分形几何已经提出了在点与线之间存在着康托尔( Cantor) 集之类非点非线、亦点亦线的中介现象, 在线与面之间存在着伊农(Henon) 吸引子之类非线非面、亦线亦面的中介现象, 在面与体之间存在着洛仑兹( Lorenz) 吸引子、谢尔宾斯基( Sierpinski) 海绵之类非面非体、亦面亦体的中介现象, 等等。由此可见, 分维概念的提出把维数概念从整数范围扩展到了实数范围, 这不能不说是人类对维数概念认识的重大突破。

在分形研究中，对分形维数有不少定义，因为要找到一个对任何事物都适用的定义并不容易。由于测定维数的对象不同，就某一分形维数的定义而言，对有些对象可以适用，而对另一些就可能完全不适用。严格地说，对不同定义的维数应使用不同的名称把它们加以区分开来。

实际的测定分形维数的方法，大致可以分为以下5类：

改变观察尺度求维数

本方法是用圆和球、线段和正方形、立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形图形，例如利用长度为r的线段近似海岸线那样的复杂曲线。先把曲线的一端作为起点，然后以此点为中心画一个半径为r的圆，把此圆与曲线最初相交的点和起点用直线连结起来，再把此交点重新看作起点，以后反复进行相同的操作，如图4.1所示。用长度为r的折线去近似海岸线时，把测得的线段总数记作N(r)。如果改变基准长度r，则N(r)也要发生变化。

可以把此方法进行扩展，使之适用范围扩大到二维和三维，同时也适用于计算机计算。扩展方法是，把平面或空间分割为边长为r的细胞，然后来数所要考虑的形状（或构造）中所含的细胞数N(r)。

根据测度关系求维数

这个方法是利用分形具有非整数维数的测度来定义维数的。如把一个立方体每边的长度扩大到原来边长的2倍，那么二维测度的表面积是2^2倍，三维测度的体积为2^3倍。因此若把一个量的单位长度扩大到2倍，并假定它能成为具有2^D的量，那么此量也可称为D维数的。

根据相关函数求维数

相关函数是最基本的统计量之一，从这一函数型也可求得分形维数。

根据分布函数求维数

月面照片上的各种不同大小的月坑，如果只看照片，其真实大小是完全看不出来的。如果说照片上的月坑直径为1000km，就会觉得它相当之大，如果说它只有50cm，也只会觉得它原来如此之小，并不会特别使人抱有不自然之感。月坑的大小分布并没有特征长度，考虑这种大小分布时，从其分布函数的类型即可求得分形维数。

把月坑直径记为r，另外把直径大于r的月坑存在概率记为p（r）。若把直径的分布概率密度记为p（s），则有

根据频谱求维数

从频谱的观点来看，所谓改变观察的尺度就是改变截至频率fc。此处的截止频率，指的是把较此更细小的振动成分舍去的界限频率。因此，如果说某变动是分形，那么也就是等于说即使变换截至频率fc也不改变频谱的形状。这也等同于：即使进行观测尺度的变换，f -> λ波谱形状也不变，具有这种性质的频谱S（f）只限于下述幂型

S(f) ∝f^(-β)

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本系列文章的参考资料

[1] 张济忠. 分形[M]. 清华大学出版社有限公司, 1995.

[2] Mandelbrot B, 文志英, 苏虹. 分形对象: 形, 机遇和维数[M]. 世界图书出版公司, 1999.

[3] 法尔科内, 曾文曲. 分形几何: 数学基础及其应用[M]. 人民邮电出版社, 2007.

[4] 李重概. 分形分析 Hurst 指数在中国股票市场的应用[D]. 厦门大学, 2002.

[5] 相关网络资料

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