模运算

除法定理
Z={⋯,−1,0,1,⋯}\mathbb{Z}=\{\cdots,-1,0,1,\cdots\}Z={⋯,−1,0,1,⋯}为整数集，对任何整数a和任何正整数n存在唯一整数q和r，满足{r:0≤r<n,r∈Z}\{r:0\le r<n,r\in \mathbb{Z}\}{r:0≤r<n,r∈Z},且a=qn+ra=qn+ra=qn+r。称q=⌊a/n⌋q=\left \lfloor a/n \right \rfloorq=⌊a/n⌋为除法的商，⌊⌋\lfloor \rfloor⌊⌋表示向下取整， r≡amodnr\equiv a \mod nr≡amodn为除法的余数。
简单例子
19mod11≡8mod1119\mod 11\equiv 8\mod1119mod11≡8mod11
−7mod11≡4mod11-7 \mod 11\equiv 4\mod11−7mod11≡4mod11
模运算的好处：一些程序进行线性运算的时候，由于存储空间大小是固定的，可能存在结果溢出的情况，模运算可以将xxx结果始终确定在一个范围即{x:0≤x<n,x∈Z}\{x:0\le x<n,x\in \mathbb{Z}\}{x:0≤x<n,x∈Z}内，从而避免溢出。

有限群

群(S,⊕)(S,\oplus )(S,⊕)是集合SSS和二元运算符⊕\oplus⊕组成，顾名思义群中的元素个数是有限的。对于该运算应该满足以下性质：

封闭性：对于任意a,b∈Sa,b\in Sa,b∈S，有a⊕b∈Sa\oplus b \in Sa⊕b∈S。
单位元：存在一个元素e∈Se \in Se∈S，称eee为单位元，对所有a∈Sa\in Sa∈S，满足e⊕a=a⊕e=ae \oplus a=a\oplus e = ae⊕a=a⊕e=a。
结合律：对任意a,b,c∈Sa,b,c\in Sa,b,c∈S,有(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)(a\oplus b)\oplus c=a\oplus(b\oplus c)(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)。
逆元：对任意a∈Sa\in Sa∈S，存在b∈Sb\in Sb∈S，满足a⊕b=b⊕a=ea\oplus b=b\oplus a=ea⊕b=b⊕a=e。

模n加法群

定义群(Zn,+n)(\mathbb{Z}_n,+_n)(Zn,+n)，其中Zn={x∣0≤x<n,x∈Z}\mathbb{Z}_n=\{x|0\le x<n,x\in\mathbb{Z}\}Zn={x∣0≤x<n,x∈Z}，+n+_n+n指在模n上的加法，即a+nb=a+bmodna+_n b = a+b\mod na+nb=a+bmodn，群(Z5,+5)(\mathbb{Z}_5,+_5)(Z5,+5)的运算表为

+5+_5+5	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

在该群中单位元为0，0的逆元为0，1的逆元为4。

模n乘法群

定义群(Zn∗,⋅n)(\mathbb{Z}_n^*,\cdot_n)(Zn∗,⋅n),其中Zn∗={x∈Zn∣gcd(a,n)=1}\mathbb{Z}^*_n=\{x\in \mathbb{Z}_n|gcd(a,n)=1\}Zn∗={x∈Zn∣gcd(a,n)=1}，gcd(a,n)gcd(a,n)gcd(a,n)表示求a和n的最大公因数，若两数的最大公因数为1则两个数互素，⋅n\cdot_n⋅n指在模n上的乘法，即a⋅nb=a⋅bmodna \cdot_nb=a\cdot b \mod na⋅nb=a⋅bmodn，群(Z8∗,⋅8)(\mathbb{Z}_8^*,\cdot_8)(Z8∗,⋅8)的运算表为

⋅8\cdot_8⋅8	1	3	5	7
1	1	3	5	7
3	3	1	7	5
5	5	7	1	3
7	7	5	3	1

注意Z8∗={1,3,5,7}≠{0,1,2,3,4,5,6,7}\mathbb{Z}_8^*=\{1,3,5,7\}\ne\{0,1,2,3,4,5,6,7\}Z8∗={1,3,5,7}={0,1,2,3,4,5,6,7}，因为0,2,4,6和8并不互素。
构造(Z8,⋅8)(\mathbb{Z}_8,\cdot_8)(Z8,⋅8)的运算表如下

⋅8\cdot_8⋅8	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

该运算并不存在逆元，因而不能构成群。

当nnn取素数时，Zn∗={1,2,…,n−1}\mathbb{Z}^*_n=\{1,2,\dots,n-1\}Zn∗={1,2,…,n−1}，因为n必然与比其小的所有数互素。

⋅5\cdot_5⋅5	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

异或群

定义群(Zn,⊕)(\mathbb{Z}_n,\oplus)(Zn,⊕)，其中Zn={x∣0≤x<n,x∈Z}\mathbb{Z}_n=\{x|0\le x<n,x\in\mathbb{Z}\}Zn={x∣0≤x<n,x∈Z}，⊕\oplus⊕指异或运算，群(Z4,⊕)(\mathbb{Z}_4,\oplus)(Z4,⊕)的运算表为

⊕\oplus⊕	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	0	3	2
2	2	3	0	1
3	3	2	1	0

显然此时，单位元为0，任何元素的逆元为其自身。

伽罗华域

伽罗华域也称为有限域，域(R,+,−,⋅,÷)(R,+,-,\cdot,\div)(R,+,−,⋅,÷)由运算元素集合和四则运算组成，由于减法、除法分别和加法、乘法是逆运算关系，只需要关注加法和乘法即可。对于加法来说，每个元素要求有对应的加法逆元；对于乘法来说，除0以外的每个元素要求要有对应的乘法逆元。关于群、环、域的概念进一步了解可阅读这篇博客。

伽罗华域GF(q)GF(q)GF(q)表示

qqq指有限域的阶，在有限域中阶等于元素个数，有限域的阶通常是素数PPP或是素数幂PWP^WPW，即q=P或PWq = P 或P^Wq=P或PW。

有限域GF(P)GF(P)GF(P)

GF(P)GF(P)GF(P)被称为P阶素数域，PPP为素数。运算元素的集合为Zp\mathbb{Z}_pZp，加法和乘法运算要在模p上进行，即此时的加法和乘法运算分别为+p,⋅p+_p,\cdot _p+p,⋅p。在GF(P)GF(P)GF(P)上a≡bmodPa\equiv b \mod Pa≡bmodP与a=b相同，这意味着a=b→a=kn+b,k∈Za = b \to a=kn+b,k \in \mathbb{Z}a=b→a=kn+b,k∈Z。当PPP为素数时，显然所有大于0小于p的整数和是互素的，根据上面介绍的模n乘法群的概念，显然除去0以外，每个元素都能找到其逆元。
对于GF(2)GF(2)GF(2)，仅包含了元素0和1,加法表为

+	0	1
0	0	1
1	1	0(1+1=2mod2≡0mod2)0 \ (1+1 =2 \mod 2\equiv 0 \mod 2)0 (1+1=2mod2≡0mod2)

乘法表为

⋅\cdot⋅	0	1
0	0	0
1	0	1

有限域GF(Pw)GF(P^w)GF(Pw)

当n>1n>1n>1时，GF(Pw)GF(P^w)GF(Pw)可以表示为系数属于GF(P)GF(P)GF(P)等价域上的多项式，www表示多项式不能超过的阶。举个栗子，对于GF(34)GF(3^4)GF(34)，来说其包含了多项式0,1,2,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2,x2+x,x2+x+1,⋯,2x3+2x2+2x+20,1,2,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2,x^2+x, x^2+x+1,\cdots,2x^3+2x^2+2x+20,1,2,x+1,x+2,2x,2x+1,2x+2,x2+x,x2+x+1,⋯,2x3+2x2+2x+2,即多项式系数为0,1,2，此时w=4w=4w=4，多项式阶数不能超过4，符合这两个条件的多项式个数为PwP^wPw，注意这里的有限域的集合中的元素可以看成多项式，即加法和乘法是指多项式的加法和乘法，特殊之处在于对于计算后的各项系数需要取模PPP，同时对整体还需要取模f(x)f(x)f(x)。参考GF(P)GF(P)GF(P)的取模方法，这里取的模f(x)f(x)f(x)也应该是多项式，关于多项式的运算规则可以查看这篇博客。接下来我会举出大量栗子帮助理解。
对于GF(23)GF(2^3)GF(23)，其包含了元素有8个分别为0,1,x,x+1,x2,x2+1,x2+x,x2+x+10,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+10,1,x,x+1,x2,x2+1,x2+x,x2+x+1
其可取的模为x3+x2+1x^3+x^2+1x3+x2+1,x3+x+1x^3+x+1x3+x+1
在有限域GF(2w)GF(2^w)GF(2w)中，需要对多项式各项系数取模2
(x+1)2=x2+2x+1≡x2+1(x+1)^2=x^2+2x+1\equiv x^2+1(x+1)2=x2+2x+1≡x2+1
3x2−x−1≡x2+x+13x^2-x-1\equiv x^2+x+13x2−x−1≡x2+x+1
(x+1)3=x3+3x2+3x+1≡x3+x2+x+1(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\equiv x^3+x^2+x+1(x+1)3=x3+3x2+3x+1≡x3+x2+x+1
在有限域GF(3w)GF(3^w)GF(3w)中，需要对多项式各项系数取模3
(x+1)2≡x2+2x+1(x+1)^2\equiv x^2+2x+1(x+1)2≡x2+2x+1
3x2−x−1≡2x+23x^2-x-1\equiv 2x+23x2−x−1≡2x+2
(x+1)3≡x3+1(x+1)^3\equiv x^3+1(x+1)3≡x3+1
接下来需要进行取模，模为f(x)f(x)f(x)，这个模等同于不可约多项式或是本原多项式，本原多项式是不可约多项式的特例，即在不可约多项式中除去最高阶的项，剩余项的阶最小那个多项式定义为本原多项式。希望对不可约多项式和本原多项式有更多了解的，可以参考这篇博客。对于GF(23)GF(2^3)GF(23)，模可以取x3+x2+1x^3+x^2+1x3+x2+1或x3+x+1x^3+x+1x3+x+1，这两个多项式也就是阶为3的不可约多项式。
再列举几个计算案例
在GF(23)GF(2^3)GF(23)，模取x3+x+1x^3+x+1x3+x+1 ，计算4x5+3x3+1modx3+x+14x^5+3x^3+1 \mod x^3+x+14x5+3x3+1modx3+x+1
回想整数除法11/5=2余111/5=2余111/5=2余1，11≡1mod511\equiv 1\mod 511≡1mod5
(4x5+3x3+1)x3+x+1=4x2−1+−4x2+x+2x3+x+1\frac{\left(4x^5+3x^3+1\right)}{x^3+x+1}=4x^2-1+\frac{-4x^2+x+2}{x^3+x+1}x3+x+1(4x5+3x3+1)=4x2−1+x3+x+1−4x2+x+2
那这里余项为−4x2+x+2-4x^2+x+2−4x2+x+2，即4x5+3x3+1modx3+x+1≡−4x2+x+2modx3+x+1（注意这里是对各项系数取模2，与多项式的模无关）≡xmodx3+x+14x^5+3x^3+1 \mod x^3+x+1 \equiv-4x^2+x+2\mod x^3+x+1（注意这里是对各项系数取模2，与多项式的模无关）\equiv x \mod x^3+x+14x5+3x3+1modx3+x+1≡−4x2+x+2modx3+x+1（注意这里是对各项系数取模2，与多项式的模无关）≡xmodx3+x+1
或者先对4x5+3x3+14x^5+3x^3+14x5+3x3+1系数先取模2，即4x5+3x3+1=x3+14x^5+3x^3+1=x^3+14x5+3x3+1=x3+1
x3+1x3+x+1=1+−xx3+x+1\frac{x^3+1}{x^3+x+1}=1+\frac{-x}{x^3+x+1}x3+x+1x3+1=1+x3+x+1−x，对余项−x-x−x的系数−1-1−1取模2，结果为xxx。
再举一个例子
(1+2m)x2+(1+2n)x≡x2+xmodx3+x+1(1+2m)x^2+(1+2n)x\equiv x^2+x \mod x^3+x+1(1+2m)x2+(1+2n)x≡x2+xmodx3+x+1，其中m,n∈Zm,n\in \mathbb{Z}m,n∈Z

幂	多项式模为x3+x2+1x^3+x^2+1x3+x2+1	二进制模为x3+x2+1x^3+x^2+1x3+x2+1	多项式模为x3+x+1x^3+x+1x3+x+1	二进制模为x3+x+1x^3+x+1x3+x+1
0	0	000	0	000
x0x^0x0	1	001	0	001
x1x^1x1	xxx	010	2	010
x2x^2x2	x2x^2x2	100	x2x^2x2	100
x3x^3x3	x2+1x^2+1x2+1	101	x+1x+1x+1	011
x4x^4x4	x2x^2x2	100	x2+xx^2+xx2+x	110

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