有限域(Galois Field，GF，伽罗华域)的乘法原理

今天在打AES的代码，打到列混合变换的时候对有限域的乘法不是很熟悉，但是查了很多资料结合书本最后算是弄会了，分享一下自己的心得

这里是引用在密码学中经常用到有限域的乘法，一般在AES中用到的是GF(2 ^ 8)有限域内乘法。什么是有限域呢？有限域通俗的讲就是函数的运算结果全都包含在一个域中，不同于实数域，有限域有一个最大值，所有超过这个最大值的数都会经过一定的方法使他回到这个域中，在密码学中应用很广泛，2^8意味着这个域的最大值是256。

下面讲一下乘法的原理（数学原理）：

在二进制乘法中，所有的数都能够通过0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80异或得到，二进制表示如下：

所以任意的一个二进制数，都能由这八个二进制数表示得到!

例如73(01110011)可以有以下组合而成：
73(01110011)=(00000001)⊕(00000010)⊕(00010000)⊕(00100000)⊕(01000000)
如果想计算有限域的乘法例如7395的话，即(01110011)(10010101)。刚才我们说了任意的一个二进制数，都能由这八个二进制数表示得到，因此根据乘法的结合律我们可以这样子来算：

73×95=[(00000001)⊕(00000010)⊕(00010000)⊕(00100000)⊕(01000000)]*(10010101)

为什么这样子来算呢？因为仔细观察73的二进制分解，我们可以发现73分解之后每一个元素都是2的倍数。而2的倍数乘以一个2进制数可以直接左移，这样子是不是计算乘法就方便了许多。然后再把总结果异或就可以到到乘法的结果。

为了方便计算，我们定义了一个模型及XTime，及x乘以一个二进制数，这个二进制数用多项式来表示,即：x*a(x)

那么问题又来了，有限域最多为a7x^7，万一最高位为1再去乘就会溢出，所以我们要分别讨论

①当a7的系数为0，即最高位为0的时候，例如01100011，最高位为0，乘以x不会溢出，正常计算，左移就行

②当a7的系数为1，即最高位为1的时候，例如10010101，最高位为1，乘以x会溢出，在计算机中我们应该这样处理这种溢出的情况：把10010101左移一位，右边补0，再与（00011011）异或。对于x²相当于循环运算，乘以x的基础上再乘以x

数学上计算就没有计算机那么麻烦，贴张图：

GF(2m)域
当m=8时，本原多项式为P(x) = x8 + x4 +x3 + x2 + 1 .
这个很重要，因为一切化解都来源与此式。
在伽罗华域中,加法等同于对应位异或,所以
现在把α定义为P(x) = 0的根，即：

α8＋α4＋α3＋α2＋1 = 0
α8=α4＋α3＋α2＋1

在乘积得出来的多项式次数大于7时，我们需要对多项式在GF(2)上关于h(x)求余数，也就是

129×5=(x ^ 7+1)*(x ^ 2+1)=x ^ 9+x ^ 7+x ^ 2+1

将上面的函数加上x*h(x)可以消去x^9,（其实就是手工除法过程，只是现在每一次商总是0或1），所以

129×5=x^ 9+x^ 7+x^ 2+1+x^ 9+x^ 5+x^ 4+x^ 3+x=x^ 7+x^ 5+x^ 4+x^ 3+x^2+x+1
=0010111111=191

有限域(Galois Field，GF，伽罗华域)的乘法原理相关推荐

伽罗华域(Galois Field，GF，有限域)
原文见链接DataMatrix 编码生成和译码原理即方法原文见链接存储系统中的纠删码(Erasure Codes)-XOR 码和RS 码原文见链接(讲的很好)Galois 域上的运算(规则) 原文 ...
伽罗华域（Galois Field, GF, 有限域）的四则运算
有限域的构造之常见本原多项式伽罗华域(Galois Field,GF,有限域)乘法运算伽罗华域(Galois Field)理解.基于伽罗华域的四则运算(附详细python代码)
伽罗华域(伽罗瓦域，Galois Field，GF，有限域)
原文见链接DataMatrix 编码生成和译码原理即方法原文见链接存储系统中的纠删码(Erasure Codes)-XOR 码和RS 码原文见链接(讲的很好)Galois 域上的运算(规则) 原文 ...
伽罗华域（Galois Field）有限域元素生成和运算原理
存储编码,矩阵等之间的运算都是在伽罗华域(Galois Field,GF,有限域)上进行的,所以要实现底层的运算库,必须了解 GF 上的运算规则. 域: 一组元素的集合,以及在集合上的四则运算,构成一 ...
伽罗华域（Galois Field）理解、基于伽罗华域的四则运算（附详细python代码）
参考链接:https://blog.csdn.net/luotuo44/article/details/41645597 参考链接:https://blog.csdn.net/shelldon/art ...
伽罗华域上(Galois Field)上的四则运算-笔记
原网页:https://blog.csdn.net/shelldon/article/details/54729687 单位元:a∗e=e∗a=aa*e=e*a=aa∗e=e∗a=a 本原多项式:域中 ...
伽罗华域GF，GF（256）来源
Galois Field 1. 域 2. 域中单位元和逆元 3. 有限域GF(p)(p)(p) 4. 有限域GF(2p)(2^p)(2p) 4.1 有限域GF(2p)(2^p)(2p)的生成 4.2 ...
c语言实现伽罗华域乘法器,伽罗华域运算及C语言实现
伽罗华域(Galois Field)简介在数学中,有限域(或称伽罗华域)是一个包含有限元素的域.与其他域一样,有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合.其中加法和乘法必须满足交换.结合 ...
伽罗华域下的伪随机序列图像编码（一）
最近看了一篇TPAMI文章Determining Both Surface Position and Orientation in Structured-Light-Based Sensing ,是用 ...

有限域(Galois Field，GF，伽罗华域)的乘法原理

有限域(Galois Field，GF，伽罗华域)的乘法原理相关推荐

最新文章

热门文章