第二篇 数学试验 第2章 数学试验 2.2实验2 一元微积分的编程实现 PAGE 6

编程实现数值积分的几种--方法 c语言

\l "m=0&t=1&c=fks_084066080087083065084095086095085086082068081080081065083" \o "数值计算" 数值计算 2010-11-05 09:52:43 阅读385 评论1 ??字号：大中小?订阅

复化梯形公式

????在区间 不大时 , 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分是简单实用的 , 但当区间 较大时 , 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分达不到精确度要求 . 为了提高计算的精确度，我们将 [a,b] 区间n等分，在每个小区间上应用梯形公式、辛卜生公式计算定积分，然后将其结果相加，这样就得到了复化梯形公式和复化辛卜生公式。

1. 复化梯形公式

将积分区间 等分 , 设 , 则节点为

对每个小区间上应用梯形公式 , 然后将其结果相加，则得

(3.14)

称 (3.14) 式为复化梯形公式 .

当 在 [a,b] 上有连续的二阶导数时，则复化梯形公式 (3.14) 的余项推导如下：

因为

所以在区间 [a,b] 上公式 (3.14) 的误差为

又因为 在区间 [a,b] 上连续，由连续函数的性质知，在区间 [a,b] 上存在一点 ，

于是

( 3.15 )

?

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复化梯形公式，复化抛物线公式和Romberg求积法的算法程序：

以下程序均定义误差限为1*10^-5;

1)复化梯形公式：

#include #include #define e 1e-5#define a 0????????????????????????? //积分下限a#define b 1????????????????????????? //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x)))?????????? //被积函数f(x)int main(){??? int i,n;??? double h,t0,t,g;??? n=1;???????????????????????????? //赋初值??? h=(double)(b-a)/2;??? t=h*(f(a)+f(b));??? do???????????????????????????????? {?????? t0=t;????????????????? g=0;?????? for (i=1;i<=n;i++)?????????? g+=f((a+(2*i-1)*h));?????? t=(t0/2)+(h*g);??????????????? //复化梯形公式?????? n*=2;?????? h/=2;??? }??? while (fabs(t-t0)>e);???????????? //自定义误差限e??? printf("%.8lf",t);??????????????? //输出积分的近似值??return 0;}

?

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2)复化抛物线公式：

#include #include #define e 1e-5#define a 0????????????????????????? //积分下限a#define b 1????????????????????????? //积分上限b#define f(x) (4/(1+(x*x)))?????????? //被积函数f(x)int main(){??? int i,n;??? double f1,f2,f3,h,s0,s;??? f1=f(a)+f(b);???????????????????? //赋初值??? f2=f(((double)(b+a)/2));??? f3=0;??? s=((double)(b-a)/6)*(f1+4*f2);??? n=2;??? h=(double)(b-a)/4;??? do??????????????????????????????? //复化抛物线算法??? {????????????????????? f2+=f3;????????????????????? s0=s;????????????????????? f3=0;????????????????????? for (i=1;i<=n;i++)????????????????????????? f3+=f((a+(2*i-1)*h));????????????????????? s=(h