牛顿迭代法求方程的根

1. 牛顿迭代法的几何解释

注解：设 rrr是f(x)=0f(x)=0f(x)=0 的根，选取 x0x_0x0 作为 rrr 的初始近似值，过点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0))(x0,f(x0)) 做曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的切线 LLL ， L:y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)L:y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)L:y=f(x0)+f′(x0)(x−x0) ，则 LLL 与 xxx 轴交点的横坐标 x1=x0−f(x0)f′(x0)x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}x1=x0−f′(x0)f(x0) ，称 x1x_1x1为 rrr 的一次近似值。过点 (x1,f(x1))(x_1,f(x_1))(x1,f(x1))做曲线 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 的切线，并求该切线与xxx轴交点的横坐标 x2=x1−f(x1)f′(x1)x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}x2=x1−f′(x1)f(x1) ，称 x2x_2x2 为rrr的二次近似值。重复以上过程，得 rrr 的近似值序列，其中，xxx_n+1=xn−f(xn)f′(xn)=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=xn−f′(xn)f(xn) 称为 rrr 的 n+1n+1n+1 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
以下是部分图片（本人选自百度图片），帮助理解：

2. 案例

题目：用牛顿迭代法求根。方程为 ax3+bx2+cx+d=0ax^3+bx^2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0 ，系数 a，b，c，da，b，c，da，b，c，d 的值依次为 1，2，3，4，由主函数输入。求 xxx 在 1 附近的一个实根。求出根后由主函数输出。

3. 案例分析

牛顿迭代公式为： xxx_n+1=xn−f(xn)f′(xn)=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=xn−f′(xn)f(xn)
其中，x0x_0x0是上一次求出的近似根，在开始是根据题设 x0=1x_0=1x0=1（题目希望求x在1附近的一个实根，因此第一次的近似值可以设定为1）。f(x)=x3+2x2+3x+4f(x)=x^3+2x^2+3x+4f(x)=x3+2x2+3x+4。f′(x)f'(x)f′(x)是f(x)f(x)f(x)的导数，所以f′(x)=3x2+6x+3f'(x)=3x^2+6x+3f′(x)=3x2+6x+3
第一次迭代，x=1−f(1)f′(1)x=1-\frac{f(1)}{f'(1)}x=1−f′(1)f(1) ；第二次迭代。。。依次类推；
一直迭代到∣x−x0∣<=10|x-x_0|<=10∣x−x0∣<=10^-3时结束。

4.代码实现

#include <stdio.h>
#include <math.h>float solution(float a,float b,float c,float d);int main()
{float a,b,c,d;printf("请输入系数a,b,c,d: ");scanf("%f%f%f%f",&a,&b,&c,&d);printf("x=%10.7f\n",solution(a,b,c,d));return 0;
}float solution(float a, float b, float c,float d)
{float x = 1;float x0, f, f1;do{x0 = x;f = ((a * x0 + b)* x0 +c) * x0 + d;f1 = (3 * a * x0  + 2 * b) * x0 +c;x = x0 - f / f1;  }while(fabs(x - x0)>= 1e-3);return x;
}

参考文章

https://blog.csdn.net/yyzsir/article/details/78712887

https://blog.csdn.net/qq_41928880/article/details/80023335

https://blog.csdn.net/qq_31029351/article/details/53311285

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