牛顿迭代法求方程的根

牛顿迭代法（牛顿-拉弗森方法）

五次及以上多项式方程没有根式解（就是没有像二次方程那样的万能公式），这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论。没有根式解不意味着方程解不出来，数学家也提供了很多方法，牛顿迭代法就是其中一种。

简而言之就是说：通过反复求切线的斜率无限逼近求得f（x）的解，也就是方程的根。

重点：牛顿-拉弗森方法是否总是收敛（总是可以求得足够近似的根）？

牛顿-拉弗森方法源于直觉，这种直觉本身有一定程度的合理性。

我们来看看收敛的充分条件：若f（x）二阶可导，那么在待求零点x周围存在一个区域，只要起始点x0位于这个邻域内，那么牛顿拉弗森方法必定收敛，也就是说，在这个区域内，用切线代替曲线这个直觉是合理的。但是，因为我们不知道根点到底在哪里，所以起始点x0选择就不一定在这个区域内，那么这个直觉就不靠谱了（就可能求不出近似解了！）

如果起始点选择错误会有以下情况：（在上方的网站中有详细的解答）

1、驻点（切线没有根，毫无意义）

2、越来越远离的不收敛

3、循环震荡不收敛

此外，当一个函数有多个根，而选择的起始点只能求到附近的根，所以不能求出所有的根！

总结：应用牛顿-拉弗森方法，要注意以下问题：

函数在整个定义域内最好是二阶可导的
起始点对求根计算影响重大，可以增加一些别的判断手段进行试错（牛顿迭代法的一大缺陷！）

例子：求方程F1（在下方有定义）在x0附近的根 //给出了x0，也就是起始点

//牛顿迭代法求解方程组的根！

#include<iostream>
using namespace std;
double F1(double x)     //F1为原函数,注意变量x的值和函数返回值都是double型的，否则在后面的循环误差会很大
{double result;result = pow(x, 3) + 2 * pow(x, 2) + 10 * x - 20;return result;
}
double F2(double x)  //F2为F1导函数，注意变量x的值和函数返回值都是double型的，否则在后面的循环误差会很大
{double result;result = 3 * pow(x, 2) + 4 * pow(x, 1) + 10;return result;}
int main()
{double epson, X0, Xn,X;cout << "任务：用牛顿迭代法求方程的在0附近的根，请输入精度x的值"; cin >> epson;cout << "请输入初始化的迭代值X0="; cin >> X0;do{X = X0;X0 = X - F1(X) / F2(X);cout << 1;} while (fabs(X0 - X) > epson);cout << "近似解为" << X0;return 0;
}

牛顿迭代法求方程的根相关推荐

用牛顿迭代法求方程的根
用牛顿迭代法求方程的根(C语言) 题目要求:牛顿迭代法是一种重要的基本的求方程根的方法.现有方程为axˆ3+bxˆ2+cx+d=0,系数a,b,c,d的值一次为1,2,3,4,由主函数输入.求x在1附 ...
用牛顿迭代法求方程的根matlab,牛顿迭代法求方程根的MATLAB程序
function [x_reality,n_reality] = Newt( f_name,x_start,tolerance,n_limit) %% %牛顿迭代法(切线法)求解方程f_name = ...
用牛顿迭代法求方程的根matlab,牛顿迭代法求方程解程序如下
该楼层疑似违规已被系统折叠隐藏此楼查看此楼 function [x_reality,n_reality] = Newt( f_name,x_start,tolerance,n_limit) %% % ...
1087 习题5-14 牛顿迭代法求方程的根
题目描述用牛顿迭代法求下面方程在输入初值点附近的根: 2x3-4x2+3x-6=0 要求前后两次求出的x的差的绝对值小于10-6 牛顿迭代法公式如下: 将给定给定方程写成f(x)=0的形式,在给定初 ...
java牛顿法求方程根_C程序习题-用牛顿迭代法求方程的根[6.12]
用牛顿迭代法求下面方程在1.5附近的根.2X3– 4X2+3X- 6 = 0 看到这个题目,我便开始百度,看什么是牛顿迭代法.看了上面的解释,我还是一头雾水.无从下手.不知所云.看着上面写的推到公式, ...
【清橙A1094】【牛顿迭代法】牛顿迭代法求方程的根
问题描述给定三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的4个系数a,b,c,d,以及一个数z,请用牛顿迭代法求出函数f(x)=0在z附近的根,并给出迭代所需要次数. 牛顿迭代法的原理如下(参考下图) ...
Matlab牛顿迭代法求方程的根（GUI）
牛顿迭代法的具体内容不赘述它的核心算法是: k = 1; x = x0; x0 = x + e*2; % 为了让初启动时满足循环条件 while (abs(x-x0))>e && ...
100个python算法超详细讲解：牛顿迭代法求方程根
1．问题描述编写用牛顿迭代法求方程根的函数.方程为ax 3 +bx 2 +cx+d=0,系数a. b.c.d由主函数输入,求x在1附近的一个实根.求出根后,由主函数输出. 2．问题分析牛顿迭代法是 ...
Python趣味算法入门 - 牛顿迭代法求方程根
问题描述编写用牛顿迭代法求方程根的函数.方程为,系数a,b,c,d由主函数输入,求x在1附近的一个实根.求出根后,由主函数输出. 牛顿迭代法的公式:,设迭代到时结束. 分析在网上可以找到很多关 ...

牛顿迭代法求方程的根

牛顿迭代法求方程的根相关推荐

最新文章

热门文章