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邬汝威

(浙江工商大学国际经济与贸易系,浙江杭州310018)

摘 要：多元线性回归是计量分析中最常用的方法之一,在经济学、金融学和管理学中运用广泛.线性回归方法依赖于矩阵和向量的运算,因此以矩阵运算为内核的Matlab是理想的编程平台.本文以开发多元线性回归函数作为例子,着重分析Matlab自定义函数的设计理念,同时突出varargin、nargin等特殊函数的代码编写.通过交叉运用线性代数、概率统计等数学工具,本文为计量研究人员提供了新的编程视角.

关键词：矩阵运算；Matlab；多元线性回归；函数编程

中图分类号：TP311.1文献标识码：A

1.引言(Introduction)

普通最小二乘法(OrdinaryLeastSquare,以下简称OLS)是最重要的多元线性回归法,该方法被广泛地应用于各种定量分析领域[1].目前,许多主流计量分析软件都支持OLS回归法,比如SAS、R、Eviews等.Matlab也能够实现多元线性回归,其自带的StatisticsToolbox和EconometricsToolbox提供了比较丰富的计量分析功能.既然有现成的回归分析软件,为什么还要自己编写原始代码?原因有以下两点.第一,计量经济学的发展是日新月异的,上述主流回归分析软件的更新无法跟上计量经济学的前进步伐.通过对原始代码的详细分解,能够让广大研究人员掌握回归分析的核心编程思路.第二,计量经济学的难点在于线性代数和概率统计,在实践中学习是掌握各种计量工具的关键.通过编程,有利于更好地吸收回归分析知识.

多元线性回归的代码设计包括数据储存、矩阵运算、结果输出等环节.本文先从Matlab自定义函数编程出发,利用varargin、nargin等特殊函数处理变量数据.之后利用Matlab强大的矩阵运算功能得到回归分析统计量,并将回归结果以表格形式输出.目前,国内有少量的文献涉及Matlab计量编程,这些研究存在一些可改进之处.首先,回归方程的变量数目应该由用户自定义.在计量经济学的实际应用中,控制变量的筛选是不确定的.借助Matlab内置的varargin、nargin等函数,本文的程序能够有效地处理多个解释变量,即可以实现变量数目的自定义.其次,回归结果应该给出完整的统计量,不应该仅仅提供系数大小.本文的Matlab程序给出了回归系数、标准误、P值等统计量,符合计量分析的学术标准.再次,回归结果可以用表格形式输出.Matlab的内置table函数提供了丰富的输出选项,在多元回归的情况下可以用table函数批量地输出各种统计量.

2.线性回归法的理论回顾(Reviewoflinearregression)

用表示被解释变量,表示自变量,表示干扰项,那么总体线性方程可以表示为[2]：

用表示被解释变量的向量形式,表示自变量的矩阵形式,表示样本容量,我们可以得到回归系数：

在同方差条件下,显著性检验所需的标准误可以由下式计算得到[3]：

3.常用的内置函数(Essentialbuilt-infunctions)

为了构建完整的多元计量分析程序,我们将代码分为多个模块.一个完整的计量分析程序可以被分为三个模块,数理统计模块、矩阵运算模块和结果输出模块.数理统计模块是回归参数检验的重要部分,我们需要借助Matlab内置的数学函数来计算各种统计量.矩阵运算是Matlab的强项[3],在求回归参数时需要用到diag函数.输出模块也非常关键,内置的table函数能够使回归结果以简洁的表格形式输出.在正式编写回归分析程序之前,我们先回顾一下将要涉及的Matlab内置函数.

3..1用于显著性检验的tcdf函数

在计量分析中t分布具有重要作用,t分布可以用来检验某个解释变量的显著性.为了得到P值,我们需要计算t统计量.假定某个自变量的系数为,那么该变量的t统计量计算公式为

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,其中表示解释变量的标准误.利用Matlab内置的tcdf函数,我们可以得到任意自由度的t统计量.比如,某个变量的t值为-2.39,自由度为296,那么求相应P值的代码为(这里还用到了求绝对值的abs函数)：

pValue等于(1-tcdf(abs(-2.39),296))*2

3..2矩阵运算与diag函数

多元回归方法涉及大量的矩阵运算,因此我们可以借助Matlab进行与矩阵相关的操作.比如,先用ones内置函数构造一个元素全为1的5×5矩阵,将该矩阵命名为mat1.再将该矩阵与其转置矩阵相乘,将得到的新矩阵命名为mat2.利用Matlab内置的diag函数,我们可以很快地得到矩阵mat2主对角线上的所有元素.上述过程的代码如下：

mat1等于ones(5,5)

mat2等于mat1*mat1&amp,acute,

diag(mat1)

3..3用于生成表格的table函数

回顾国内已有的Matlab学术文献,一些学者采用文本对话框的形式输出计量回归结果.但是,在回归统计量数目极多的情况下,文本对话框无法像表格那样简洁地显示层次化信息.Matlab提供了强大的表格输出命令,通过内置的table函数我们可以很轻松地得到专业化的表格效果.假设有两个变量var1和var1,其中var1的取值为21和11,var2的取值为35和51.如果用table函数来实现var1和var2数据的表格形式输出,可以编写以下代码：

table([21,11],[35,51],...

&amp,acute,VariableNames&amp,acute,,{&amp,acute,var1&amp,acute,&amp,acute,var2&amp,acute,})

4.Matlab代码设计(Matlabcodedesign)

4..1自定义函数的开头

将这个Matlab多元线性回归程序命名为mvReg,因此将函数源代码以mvReg.m作为文件名保存.为了使该程序能够灵活处理多元线性回归的自变量数目,我们使用varargin函数记录输入的因变量和自变量.代码如下：

functionmvReg(varargin)

4..2回归系数的估计

由第二部分理论回归可知,回归系数的表达式可以简化为

.首先,生成元素全为1的矩阵MatX.其次,用循环语句将矩阵MatX的元素替换为varargin中的数据.求回归系数的代码如下：

NumIV等于nargin,

NumCross等于length(varargin{1}),

VecY等于varargin{1},

MatX等于ones(NumCross,NumIV),

fori等于2:NumIV

MatX(:,i)等于varargin{i},

end

VecB等于inv(MatX&amp,acute,*MatX)*MatX&amp,acute,*VecY,

4..3显著性检验的统计量

在回归分析当中,比较重要的统计量有t值、标准误和P值等.t值等于回归系数与标准的比值,表达式为.P值根据t分布得到,极小的P值表明不拒绝原假设“”.用VecSE、VecT和VecP分别表示标准误向量、t值向量和P值向量,计算各统计量的代码如下：

ehat等于VecY-MatX*VecB,

VecSE等于[diag(sum(ehat.^2)/等

(NumCross-NumIV)*inv(MatX&amp,acute,等

*MatX))].^0.5,

VecT等于VecB./VecSE,

VecP等于(1-tcdf(abs(VecT),等

NumCross-NumIV))*2,

4..4将回归结果以表格形式输出

Matlab的内置函数table提供了强大的表格显示功能,因此本回归程序利用table函数来实现回归结果的输出.由于回归结果的表格涉及文本内容和数值内容,我们将数据以cell形式储存.代码如下：

VecVN等于cell(nargin,1),

VecVN{1,1}等于&amp,acute,_cons&amp,acute,,

fori等于2:nargin

VecVN{i,1}等于inputname(i),

end

Regression等于table(VecVN,VecB,等

VecSE,VecP,&amp,acute,VariableNames&amp,acute,,等

{&amp,acute,Variable&amp,acute,,&amp,acute,Coef&amp,acute,,&amp,acute,Std_Err&amp,acute,,&amp,acute,P&amp,acute,})

至此代码编写完毕,接下来对多元回归函数进行测试.先导入Excel数据文件,因变量为wage,自变量为educ和exper.多元回归的代码为：

mvReg(wage,educ,exper)

最终的回归结果如图1所示.输出结果的第一列为被估计的回归系数,解释变量educ的系数大小为0.64427,标准误为0.053.通过计算t统计量,我们可以得到其P值为0.所以,解释变量educ是非常统计性显著的.同理,解释变量exper的系数大小为0.070095,标准误为0.010978.该变量P值小数点的后三位都为零,因此变量exper在1%水平上统计性显著.参照主流统计软件的输出格式,我们用“_cons”表示截距.从图1的回归结果来看,截距P值小数点的后三位都为零,因此也是在1%水平上统计性显著.

在得到多元线性回归的结果之后,我们还可以利用内置函数来实现数据可视化的功能.在单个解释变量的情况下,scatter函数可以得到关于因变量与被解释变量的散点图.借助plot函数,还可以画出线性回归的拟合曲线.借助基本的数理统计知识,用户可以将这些图形功能充分应用到数据分析当中.值得注意的是,Matlab提供了大量的高级统计函数.基于这些内置函数,用户可以非常高效地编写属于自己的新程序.

5.结论(Conclusion)

Matlab作为以矩阵运算为特点的综合性编程平台,其高效快捷的代码命令能够处理众多的计量分析难题.本文借助Matlab线性代数模块、概率分布模块实现了多元线性回归法,并得到了重要的检验统计量.在此基础上,可以进一步增加更高级的计量分析功能,比如异方差稳健回归、多重共线性检验等.

参考文献(References)

[1]EricNoreen.AnEmpiricalComparisonofProbitandOLS

RegressionHypothesisTests.JournalOfAccountingResearch,

1.988,26(1):119-133.

[2]SanfordWeisberg.AppliedLinearRegression[M].JohnWiley

&amp,Sons,2013.

[3]D论文范文idThomas.GiveMeaningtoMatriceswithMATLAB[J].

JournalofComputersinMathematicsandScienceTeaching,

1.990,9(3):73-85.

作者简介：

邬汝威(1988-),男,硕士生.研究领域：算法设计,面板数据

分析.

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