【数学分析笔记01】平均值不等式证明

引言

本科毕业以后越觉数学的奇妙，想弥补一下数学知识的证明，做点记录，方便后续查阅。

定理1.2.2-平均值不等式

a1+a2+⋯+ann≥a1a2⋯ann≥n/(1a1+1a2+⋯+1an){\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\geq n{\Big/}\left({\frac{1}{a_{1}}}+{\frac{1}{a_{2}}}+\cdots+{\frac{1}{a_{n}}}\right)na1+a2+⋯+an≥na1a2⋯an≥n/(a11+a21+⋯+an1)
等号当且仅当a1,a2,⋯,ana_{1},a_{2},\cdots,a_{n}a1,a2,⋯,an全部相等时成立。这就是说，算术平均值不小于几何平均值，几何平均值不小于调和平均值。
本证明摘自参考资料[1]p22 【第一章集合与映射 §2\S2§2映射与函数】

【证明】【证明】【证明】

先证明左边的不等式
a1+a2+⋯+ann≥a1a2⋯ann.{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}}\geq\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,.na1+a2+⋯+an≥na1a2⋯an. 当n=1,2n=1,2n=1,2时，不等式显然成立。
当n=2k(k∈N+)n=2^k(k∈N^+)n=2k(k∈N+)时，不等式是a+b2≥ab{\frac{a+b}{2}}\ge{\sqrt{a b}}2a+b≥ab的直接推论。当n≠2k(k∈N+)n \neq2^k(k∈N^+)n=2k(k∈N+)时，取l∈N+l∈N^+l∈N+，使得2l−1<n<2l2^{l-1}\lt n\lt 2^{l}2l−1<n<2l。记
a1a2⋯an=aˉ\sqrt{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,=\,{\bar{a}}a1a2⋯an=aˉ
在a1,a2,⋯,ana_{1},a_{2},\cdots,a_{n}a1,a2,⋯,an后面加上
(2l−n)(2^{l}-n)(2l−n)个aˉ{\bar{a}}aˉ,将其扩充成2l2^{l}2l个正数。对这2l2^{l}2l正数应用不等式，得到
12l[a1+a2+⋯+an+(2l−n)a‾]z^≥(a1a2⋯ana‾2l−n)12l=aˉ{\frac{1}{2^l}}{\Big[}a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+(2^{l}-n){\overline{{a}}}{\Big]}{\hat{z}}\geq(a_{1}a_{2}{\cdots}a_{n}{\overline{{a}}}^{2^l-n})^{{\frac{1}{2^l}}}={\bar{a}}2l1[a1+a2+⋯+an+(2l−n)a]z^≥(a1a2⋯ana2l−n)2l1=aˉ

整理后即有：
a1+a2+⋯+ann≥a1a2⋯ann\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\ge\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}na1+a2+⋯+an≥na1a2⋯an

对1a1,1a2,⋯,1an{\frac{1}{a_{1}}},{\frac{1}{a_{2}}},\cdots,{\frac{1}{a_{n}}}a11,a21,⋯,an1使用上面的结论，便得到右边的不等式。

证毕

参考资料

[1]数学分析[M]. 高等教育出版社 , 陈纪修等[编著], 2004

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