控制工程中的数学建模(4)——控制系统时域数学模型建立的一般步骤(之一)
控制系统的数学模型是描述系统内部物理量之间关系的数学表达式。建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法。分析法是对系统各部分的运动机理进行分析,根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型去逼近,这种方法称为系统辨识。
时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程。我们采用分析法介绍微分方程数学模型。
微分方程的表现形式:
若系数 ; 是常数,称为定常系统。
第一步:线性元件的微分方程
一个复杂的控制系统必定包含多个线性的基础元件,这些元件有电气元件、电磁元件、力学元件、液压元件等。
我们来研究一个弹簧——质量——阻尼器机械位移子系统元件。这个子系统在控制阀体的阀芯开合位移上经常用到:
(1)明确子系统的输入输出量
列写质量块m在外力 作用下,位移 的运动方程。
(2)根据物理原理,列写等式,并引出中间量
质量块m相对于初始状态的位移为 ,其速度
加速度
根据牛二定律
——阻尼力,其方向与运动方向相反,大小与运动速度成比例,如摩擦力、液动力:
f——阻尼系数。
——弹簧弹力,方向与运动方向相反,大小与位移成比例:
K——弹性系数。
(3)消去中间量,得到标准的微分方程
代入牛二定律等式,整理后得
子系统的微分方程即为
子系统的输入量为外力 ,输出量为质量块m的位移 。
根据上面实例分析,我们总结列写元件微分方程的步骤:
①由工作原理和控制目的,确定输入量和输出量;
②分析元件工作的物理或化学规律,列写相应的微分方程;
③消去中间变量,仅得到输出量与输入量之间关系的微分方程,此即为元件的时域模型。
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