《现代控制系统》第四章——反馈控制系统特性 4.3 控制系统对参数变化的敏感程度

对于一个转换方程G(s)，无论其代表了什么系统，其参数总会随着环境或多或少的变化。在开环系统里面，所有的这些参数变化都会直接导致一个变化和不准确的系统输出。但如果是一个闭环系统，它能通过感知和利用输出的变化来纠正输出。控制系统对参数变化的敏感程度是一个很重要的考量因素，闭环反馈控制系统可以减少系统对参数变化的敏感程度。

这节我们只讨论参数变化对系统的影响，因此可以令Td(s)和N(s)为0，那么根据上一节式4.2可以得到

我们可以通过一个假设来获得反馈减少系统参数敏感度的一个直观感觉，如果在任意感兴趣的频率下面都有：

那么

虽然新的系统可能会产生震荡或者不稳定，但是我们可以发现新系统的输出与受控对象G(s)无关了，也就是说通过引入了一个反馈，并假设Gs(s)G(s)远大于1，我们让新系统对G(s)的敏感度大大降低了！

接下来我们更严谨地来讨论这个问题。

假设被控对象正经历一个改变，变成

这个改变可以是由于环境变化带来的，也可以仅仅是代表参数的不确定性。我们研究由ΔG(s)对误差E(s)产生的影响，根据上一节式4.3，令Td(s)和N(s)为0，且根据叠加原理我们有：

两式相减，得到

一般情况下，都有

因此：

如果L(s)足够的，那么1+L(s) ≈ L(s), 那么：

这时就很容易看出L(s)越大，那么参数变化带来的误差就越小，即越大的L(s)使系统对参数变化的敏感度变低。那么问题来了，我们要怎么定义敏感度？

一个系统的转换方程如下：

那么，系统敏感度定义为：

对上式求极限得到：

课本定义如下：
有了定义以后，不难发现开环系统的敏感度始终等于1。
对于闭环系统，其转换方程为：

那么敏感度通过套公式得到

可以发现闭环系统敏感度要比开环系统低，而且式4.13等于上一节式4.5，这正解释了为什么上一节S(s)被称为敏感度。

有了受控对象对于整个系统的敏感度，进一步的，我们可以求受控对象里的某个参数对系统的敏感度：

也可以这么定义（懒得翻译了）：

至此我们介绍了反馈控制系统是如何通过怎加反馈来减小系统对于参数变化的灵敏度的。为了获得一个性能优异的系统，如果采用开环模式，那么G(s)的选择需要十分精确。如使用闭环结构，G(s)不需要十分精确，因为可以通过L(s)来调节敏感度误差。闭环系统的这个优点在通信行业起到了关键作用，举个例子来说明：

例4.1 反馈放大器
下图的放大电路输出为：

转换方程为：

由于是开环系统，很容易算出系统对Ka的敏感度为：

我们给电路加上一个电位器，使其具有单位负反馈

假设Rp≫Ro，则系统框图变成（对电路不熟的我没能推出来下面的结果，so sad）

其中

那么转换方程为：

系统敏感度为：

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