CF1471(Round 694 div2) 题解

CF1471A

先从最简单的情况入手：数组中只有两个数 aaa 和 bbb。

令 a=cx+d,b=mx+k(0≤d,k<x)a=cx+d,b=mx+k(0\le d,k < x )a=cx+d,b=mx+k(0≤d,k<x)。

d,kd,kd,k 均为 000。不合并：c+mc+mc+m，合并：c+mc+mc+m
d,kd,kd,k 有一个为 000。不合并：c+m+1c+m+1c+m+1，合并：c+m+1c+m+1c+m+1
d,kd,kd,k 均不为 000，且 d+k≤xd+k\le xd+k≤x。不合并：c+m+2c+m+2c+m+2，合并：c+m+1c+m+1c+m+1
d,kd,kd,k 均不为 000，且 d+k>xd+k>xd+k>x。不合并：c+m+2c+m+2c+m+2，合并：c+m+2c+m+2c+m+2

综上，把两个数合并后对于答案的影响是只可能减少不可能增加，因此一次都不合并时答案取得最大值，全部合并时答案取得最小值。

代码如下：

/*_/      _/    _/_/_/      _/_/_/    _/_/_/_/_/    _/_/_/    _/_/_/_/    _/      _/  _/      _/  _/      _/
_/      _/  _/      _/  _/      _/      _/      _/      _/  _/      _/  _/      _/   _/    _/    _/    _/
_/      _/  _/      _/  _/              _/      _/      _/  _/      _/  _/      _/    _/  _/      _/  _/
_/      _/  _/_/_/_/_/  _/              _/      _/      _/  _/_/_/_/    _/  _/  _/      _/         _/_/_/  _/    _/          _/              _/      _/      _/  _/  _/      _/  _/  _/      _/        _/  _/_/_/     _/      _/  _/      _/      _/      _/      _/  _/    _/     _/_/_/_/       _/       _/    _/_/        _/_/_/      _/_/_/        _/        _/_/_/    _/      _/    _/  _/        _/      _/      _/*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define fo(i,x,y) for(register int i=x;i<=y;++i)
#define go(i,x,y) for(register int i=x;i>=y;--i)
using namespace std;inline int read(){int x=0,fh=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') fh=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*fh;
}const int N=1e5+5;
int a[N]; void work(){ll sum=0,mx=0;int n=read(),x=read();fo(i,1,n) a[i]=read(),sum+=a[i];fo(i,1,n){mx+=a[i]/x;if(a[i]%x) mx++;}printf("%lld %lld\n",sum/x+(bool)(sum%x),mx);//puts("");
}
int main(){int T=read();while(T--){work();}return 0;
}

CF1471B

如果 x∣qx|qx∣q，设 t=qxt=\frac{q}{x}t=xq，那么 qqq 会分裂成 xxx 个 ttt。而如果 x∣tx|tx∣t，那么这 xxx 个 ttt 又会分裂出 x2x^{2}x2 个 tx\frac{t}{x}xt……很显然这是一个有终点的循环，每循环一次就会多出 xkx^{k}xk 个 qxk\frac{q}{x^{k}}xkq。我们把当前循环中 qqq 分裂出的 xkx^{k}xk 个数看做一个整体，每次循环都会使得数组里的元素和增加 qqq。同时，由于 q≤109q\le 10^{9}q≤109，所以循环次数为 O(log⁡xq)O(\log_{x}{q})O(logxq)，这是一个上界为 303030 的数，直接模拟这个循环即可。

代码如下：

/*_/      _/    _/_/_/      _/_/_/    _/_/_/_/_/    _/_/_/    _/_/_/_/    _/      _/  _/      _/  _/      _/
_/      _/  _/      _/  _/      _/      _/      _/      _/  _/      _/  _/      _/   _/    _/    _/    _/
_/      _/  _/      _/  _/              _/      _/      _/  _/      _/  _/      _/    _/  _/      _/  _/
_/      _/  _/_/_/_/_/  _/              _/      _/      _/  _/_/_/_/    _/  _/  _/      _/         _/_/_/  _/    _/          _/              _/      _/      _/  _/  _/      _/  _/  _/      _/        _/  _/_/_/     _/      _/  _/      _/      _/      _/      _/  _/    _/     _/_/_/_/       _/       _/    _/_/        _/_/_/      _/_/_/        _/        _/_/_/    _/      _/    _/  _/        _/      _/      _/*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define fo(i,x,y) for(register int i=x;i<=y;++i)
#define go(i,x,y) for(register int i=x;i>=y;--i)
using namespace std;inline int read(){int x=0,fh=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') fh=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*fh;
}const int N=1e5+5;
int a[N],cnt[N];void work(){int n=read(),x=read();ll ans=0;fo(i,1,n) a[i]=read(),cnt[i]=0,ans+=a[i];fo(i,1,n){int t=a[i];while(t%x==0){t/=x;cnt[i]++;}}int flag=1;while(flag){fo(i,1,n){if(cnt[i]) cnt[i]--,ans+=a[i];else{flag=0;break;}}}printf("%lld\n",ans);//puts("");
}
int main(){int T=read();while(T--){work();}return 0;
}

CF1471C

假设有 xxx 人直接拿钱，我们选择让 kkk 最小的那 xxx 个人来拿钱肯定是最优的，因为这样能使得剩下的 n−xn-xn−x 个人选择的余地最大，并且代价最小。把 kkk 排序后对 ckic_{k_{i}}cki 做前缀和。这就转化为了在两个递增数组上依次取一段长为 xxx 的前缀和一段长为 m−xm-xm−x 的后缀使得和最小，这显然是一个关于 xxx 的单谷函数，直接无脑三分就能解决。

代码如下：

/*_/      _/    _/_/_/      _/_/_/    _/_/_/_/_/    _/_/_/    _/_/_/_/    _/      _/  _/      _/  _/      _/
_/      _/  _/      _/  _/      _/      _/      _/      _/  _/      _/  _/      _/   _/    _/    _/    _/
_/      _/  _/      _/  _/              _/      _/      _/  _/      _/  _/      _/    _/  _/      _/  _/
_/      _/  _/_/_/_/_/  _/              _/      _/      _/  _/_/_/_/    _/  _/  _/      _/         _/_/_/  _/    _/          _/              _/      _/      _/  _/  _/      _/  _/  _/      _/        _/  _/_/_/     _/      _/  _/      _/      _/      _/      _/  _/    _/     _/_/_/_/       _/       _/    _/_/        _/_/_/      _/_/_/        _/        _/_/_/    _/      _/    _/  _/        _/      _/      _/*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define fo(i,x,y) for(register int i=x;i<=y;++i)
#define go(i,x,y) for(register int i=x;i>=y;--i)
using namespace std;inline int read(){int x=0,fh=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') fh=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*fh;
}const int N=3e5+5;
int k[N],c[N];
ll S1[N],S2[N];void work(){int n=read(),m=read();ll ans=1e18;fo(i,1,n) k[i]=read();//n个顾客 fo(i,1,m) c[i]=read(),S2[i]=S2[i-1]+c[i];//m件礼品sort(k+1,k+1+n);fo(i,1,n) S1[i]=S1[i-1]+c[k[i]];int L=max(0,n-m),R=n,mid1,mid2;while(R-L>5){mid1=L+(R-L)/3,mid2=R-(R-L)/3;ll v1=S1[mid1]+S2[n-mid1],v2=S1[mid2]+S2[n-mid2];if(v1<=v2) R=mid2;else L=mid1;}fo(i,L,R) ans=min(ans,S1[i]+S2[n-i]);printf("%lld\n",ans);//puts("");
}
int main(){int T=read();while(T--){work();}return 0;
}

CF1471D

思维题。

看到 gcd 和 lcm 首先想到分解质因数。令 a=∏i=1∞piei,b=∏i=1∞piei′a=\prod_{i=1}^{\infin}p_{i}^{e_{i}},b=\prod_{i=1}^{\infin}p_{i}^{e'_{i}}a=∏i=1∞piei,b=∏i=1∞piei′（pip_{i}pi 为第 iii 个质数）。则 lcm(a,b)=∏i=1∞pimax⁡(ei,ei′),gcd⁡(a,b)=∏i=1∞pimin⁡(ei,ei′)lcm(a,b)=\prod_{i=1}^{\infin}p_{i}^{\max(e_{i},e'_{i})},\gcd(a,b)=\prod_{i=1}^{\infin}p_{i}^{\min(e_{i},e'_{i})}lcm(a,b)=∏i=1∞pimax(ei,ei′),gcd(a,b)=∏i=1∞pimin(ei,ei′)。令 t=lcm(a,b)gcd(a,b)t=\frac{lcm(a,b)}{gcd(a,b)}t=gcd(a,b)lcm(a,b)，则t=∏i=1∞pimax⁡(ei,ei′)−min⁡(ei,ei′)t=\prod_{i=1}^{\infin}p_{i}^{\max(e_{i},e'_{i})-\min(e_{i},e'_{i})}t=∏i=1∞pimax(ei,ei′)−min(ei,ei′)。因此 ttt 为完全平方数当且仅当 ∀i∈N+,2∣(max⁡(ei,ei′)−min⁡(ei,ei′))\forall i\in \mathbb{N^{+}},2|(\max(e_{i},e'_{i})-\min(e_{i},e'_{i}))∀i∈N+,2∣(max(ei,ei′)−min(ei,ei′))。也就是 eie_{i}ei 与 ei′e'_{i}ei′ 奇偶性相同。因此 aaa 和 bbb 是否相邻就只与 eie_{i}ei 和 ei′e'_{i}ei′ 的奇偶性有关了，我们把奇数看做 111，偶数看做 000，每个数就可以用一个 010101 串来表示，而两个数相邻当且仅当它们的 010101 串相同。

这也就是说，每次变化都会将数组中所有 010101 串相同的元素合并在一起（其实就是把这些 010101 串加起来）。如果参与合并的元素个数为偶，那么合并过后每个 eie_{i}ei 都会变为 000，即一个全 000 串。如果参与合并的元素个数为奇，那么合并之后每个元素的 010101 串并不会发生改变。这意味着数组在变化过一次后，出现的全 000 串从此始终是全 000 串，非全 000 串从此也不会再发生改变，所以答案最多只有两种： w=0w=0w=0 时，和 w=1w=1w=1 时，直接套哈希模拟就行，由于 010101 串的哈希值只与 111 的位置有关，因此我们可以把所有 111 的位置拎出来做哈希。时间复杂度为 O(nlog⁡n+nmax⁡ai)O(n\log n+n\sqrt {\max a_{i})}O(nlogn+nmaxai)。

代码如下：

/*_/      _/    _/_/_/      _/_/_/    _/_/_/_/_/    _/_/_/    _/_/_/_/    _/      _/  _/      _/  _/      _/
_/      _/  _/      _/  _/      _/      _/      _/      _/  _/      _/  _/      _/   _/    _/    _/    _/
_/      _/  _/      _/  _/              _/      _/      _/  _/      _/  _/      _/    _/  _/      _/  _/
_/      _/  _/_/_/_/_/  _/              _/      _/      _/  _/_/_/_/    _/  _/  _/      _/         _/_/_/  _/    _/          _/              _/      _/      _/  _/  _/      _/  _/  _/      _/        _/  _/_/_/     _/      _/  _/      _/      _/      _/      _/  _/    _/     _/_/_/_/       _/       _/    _/_/        _/_/_/      _/_/_/        _/        _/_/_/    _/      _/    _/  _/        _/      _/      _/*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define mod1 998244353
#define mod2 19260817
#define base1 19260813
#define base2 300007
#define ll long long
#define fo(i,x,y) for(register int i=x;i<=y;++i)
#define go(i,x,y) for(register int i=x;i>=y;--i)
using namespace std;inline int read(){int x=0,fh=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') fh=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*fh;
}const int N=1e6+5;
int np[N],p[N],top,rk[N];void xxs(){fo(i,2,N-1){if(!np[i]) p[++top]=i,rk[i]=top;fo(j,1,top){int t=i*p[j];if(t>=N) break;np[t]=1;if(i%p[j]==0) break;}}
}int a[N];struct Ha{int v1,v2;bool operator<(const Ha &x){if(v1!=x.v1) return v1<x.v1;return v2<x.v2;}bool operator==(const Ha &x){return v1==x.v1&&v2==x.v2;}
}hx[N];void work(){int n=read();fo(i,1,n) a[i]=read();fo(i,1,n){hx[i].v1=hx[i].v2=0;int t=a[i];//printf("%d:\n",t);fo(j,1,top){if(p[j]*p[j]>t) break;bool cnt=0;while(t%p[j]==0){t/=p[j];cnt^=1;}//printf("%d %d\n",p[j],cnt);if(cnt) hx[i].v1=(1ll*hx[i].v1*base1+j)%mod1,hx[i].v2=(1ll*hx[i].v2*base2+j)%mod2;}if(t>1) hx[i].v1=(1ll*hx[i].v1*base1+rk[t])%mod1,hx[i].v2=(1ll*hx[i].v2*base2+rk[t])%mod2;//printf("v1=%d v2=%d\n",hx[i].v1,hx[i].v2);}sort(hx+1,hx+1+n);int ans0=0,ans1=0,cnt=0;fo(i,1,n){int pos=i;while(pos<=n&&hx[pos]==hx[i]) ++pos;int len=pos-i;//printf("%d:%d %d %d %d\n",i,hx[i].v1,hx[i].v2,pos,len);ans0=max(ans0,len);ans1=max(ans1,len);if(len%2==0||hx[i].v1+hx[i].v2==0) cnt+=len;i=pos-1;}ans1=max(ans1,cnt);int q=read();while(q--){ll w;scanf("%lld",&w);if(w==0) printf("%d\n",ans0);else printf("%d\n",ans1);}//puts("");
}int main(){xxs();int T=read();while(T--){work();}return 0;
}