图像拼接之APAP算法代码详解
apap 算法：mdlt
matlab 很多内置函数都是对列操作，如mean()
1. VLFEAT库 检测和匹配 SIFT 关键点 kp1,kp2,matches
2. 关键点坐标齐次化：（x,y,1）
3. 归一化：normalise2dpts
Function translates and normalises a set of 2D homogeneous points so that their centroid is at the origin and their mean distance from the origin is sqrt(2). 将2d 齐次点的中心点坐标转移到原点，2d 齐次点和原点的平均距离为2\sqrt{2}2 。
% 例如：
a = [1,2,3;1,2,3;1,1,1];
[a1,t1]=normalise2dpts(a);
% a1 =
% -1.5000 0 1.5000
% -1.5000 0 1.5000
% 1.0000 1.0000 1.0000
% 函数返回的a1 中心点为原点，且三个点距离原点的距离的平均值为 $\sqrt{2}$
% 可以验证：
dist = sqrt(a1(1,:).^2+a1(2,:).^2); % 2.1213 0 2.1213
meandist = mean(dist,2); % 1.4142
求normalise矩阵和新坐标 方法如下：
求中心点坐标
c = mean(pts(1:2, : )’ )’，先转置变成2长列求完平均点坐标再转置
或者可以mean(pts(1:2,finiteind),2) 即对行操作
所有点坐标减去中心点坐标，求平方和，然后得到平方和的平均值meandist
scale = sqrt(2)/meandist; T = [scale 0 -scale*c(1)0 scale -scale*c(2)0 0 1 ];newpts = T*pts; % 归一化后的新关键点坐标
4. ransac 算法：对匹配对剔除外点，multigsSampling 得到500组残差 3040（sift匹配对数）*500
得到小于Ransac阈值数量最多的一组残差，找到内点的索引
在图中画出匹配关系图（内点）
5. 求全局单应矩阵， DLT
vgg_H_from_x_lin( xs1, xs2 ) 这里的 xs1和 xs2 都是 经过归一化的内点齐次坐标
condition points：
先调用
C1 = vgg_conditioner_from_pts(xs1)，normalizes Pts to have 均值 0 and 样本标准偏差为 2\sqrt {2}2 的变换矩阵C其中，样本标准偏差计算公式：
返回3*3 矩阵 C1，其中第三行是[0 0 1]
再调用
vgg_condition_2d，得到 xs1 = C1* xs1，xs2 = C2* xs2 ，新得到的 xs1，xs2 中的关键点坐标均值为0，std 为 2\sqrt{2} 2% 再次使用上面的例子 % a1 = % -1.5000 0 1.5000 % -1.5000 0 1.5000 % 1.0000 1.0000 1.0000 % 得到的a2 = C * a1 a2 =-1.4142 0 1.4142-1.4142 0 1.41421.0000 1.0000 1.0000 % 可以验证： mean(a2(1:2,:),2); % ans = 0 0 std(a2(1:2,:)'); % ans = 1.4142 1.4142
svd 分解：
minh∥Ah∥,s.t.∥h∥=1A=[000−p1Tp2y∗p1Tp1T000−p2x∗p1T−p2y∗p1Tp2x∗p1T000]\min_h \left\| \mathrm Ah \right\|,s.t.\left\| \mathrm h \right\|=1 \\ \mathrm A = \begin {bmatrix} 0 & 0& 0& -p1^T & p2_y*p1^T\\ p1^T &0&0&0& -p2_x*p1^T \\ -p2_y*p1^T & p2_x*p1^T &0&0&0 \end {bmatrix} hmin∥Ah∥,s.t.∥h∥=1A=⎣⎡0p1T−p2y∗p1T00p2x∗p1T000−p1T00p2y∗p1T−p2x∗p1T0⎦⎤A 中任取两行代入一个关键点坐标，得到两个方程，N个关键点，得到的A为2N*9
取A 的svd分解中最小特征值对应的 v 向量，即 将9*9的V矩阵的最后一列作为 h向量
H = reshape(h,3,3)',matlab 中将h向量 按列重新排列成矩阵，所以需要转置由于代入A 中计算的特征点是 condition points，即此处的 H*(C1 * xs1) = C2 * xs2，所以 decondition 后的H为 C2−1∗H∗C1C2^{-1}*H*C1C2−1∗H∗C1 ，代码表示为：
H = C2\H*C1;\ 表示对 C2 求逆H = H/H(3,3)H(3,3) 归一化为1
Denormalise:
由于之前使用 normalise2dpts 对原始关键点坐标做了处理，现在恢复H:
H = T2\H*T1 % 类似deconditon
6. 得到拼接画布的尺寸大小
Map four corners of the right image. 采用的是左图保持原状，右图进行单应变换。
由于求得的H 是将左图映射到右图，即 H*x_left = x_right，所以 x_left = inv(H) * x_right.
取右图的四个顶点的齐次坐标 分别作为 x_right 的值，得到新的四个顶点坐标：TL, BL, TR, BR
%% 例如求左顶点 TL = Hg\[1;1;1]; % 即 inv(Hg)*[1;1;1], 得到非齐次形式 TL = round([ TL(1)/TL(3) ; TL(2)/TL(3) ]); % 齐次化！确定画布的尺寸（cw, ch）
cw = max([1 size(img1,2) TL(1) BL(1) TR(1) BR(1)]) - min([1 size(img1,2) TL(1) BL(1) TR(1) BR(1)]) + 1; % 投影面的 宽，通过最大的x(列)-最小的x(列)+1ch = max([1 size(img1,1) TL(2) BL(2) TR(2) BR(2)]) - min([1 size(img1,1) TL(2) BL(2) TR(2) BR(2)]) + 1; % 投影面的 高确定左图的偏移量off，即左图img1 左顶点 在画布坐标系中的 坐标 （在下图中有体现）
off = [ 1 - min([1 size(img1,2) TL(1) BL(1) TR(1) BR(1)]) + 1 ; 1 - min([1 size(img1,1) TL(2) BL(2) TR(2) BR(2)]) + 1 ];
7. 使用全局单应矩阵 映射源图像
在空画布warped_img1 (ch, cw )中 根据偏移量off 确定 左图img1 的映射位置
调用
imagewarping.cpp，将matlab 中的变量传入c++ 函数，二维数组变成按列排列的一维数组指针，三维数组（如rgb 图像）变成二维数组指针（M* ( N * 3) ），不过在取像素值时也是变成一维数组按列索引void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[])// nlhs 代表输出参数个数，nrhs 代表输入参数个数 {// 使用DLT，则输入参数为： // double(ch),double(cw),double(img2),Hg,double(off) }上一步得到的TL, BL, TR, BR四个顶点坐标，是以img1 的左顶点为坐标原点.
而在 imagewarping.cpp 中，需要以画布的左顶点为坐标原点.(在下图中有体现)
例如：img2的原左顶点（1;1;1）,经过 H−1∗(1;1;1)H^{-1}*(1;1;1)H−1∗(1;1;1) ，得到TL = （906; -141），此时的坐标系是img1。
在以画布（3315*1844）为坐标系时，img2对应的TL = (906; 203)，所以需要先减去 偏移量off (1;345)再加(1;1)，得到(906; -141)，再用 H * (906; -141; 1)，再齐次化，即可大概得到 （1;1）。
单应变换：x~′=Hx~x=[x,y]T,x~=[x,y,1]T计算得到的x~′=[x′,y′,z′],后续使用需要齐次形式，即x′=[x′/z′,y′/z′].单应变换：\widetilde{\mathrm x}'= \mathrm H \widetilde{\mathrm x} \\ \mathrm x = [x,y]^T,\widetilde{\mathrm x}=[x,y,1]^T\\ 计算得到的 \widetilde{\mathrm x}' =[x',y',z'],后续使用需要齐次形式，即\mathrm x'=[x'/z',y'/z'].\\ 单应变换：x′=Hxx=[x,y]T,x=[x,y,1]T计算得到的x′=[x′,y′,z′],后续使用需要齐次形式，即x′=[x′/z′,y′/z′].% 验证结果： Hg*[906;-141;1]= [1.2193;1.4887;0.9824]; % 齐次化后的坐标： [1.2411; 1.5153] ≈ [1; 2]/* For each pixel in the target image... */ // H * canv = img2for(i=0;i<canvm;i++){for(j=0;j<canvn;j++){/* Get projective transformation for current source point (i,j). */ // 将source image(canv) 映射到 target image(img2) 的坐标为（posa, posb）posa = round(((H[(Hm*0)+0] * (j-off[0]+1)) + (H[(Hm*1)+0] * (i-off[1]+1)) + H[(Hm*2)+0]) / ((H[(Hm*0)+2] * (j-off[0]+1)) + (H[(Hm*1)+2] * (i-off[1]+1)) + H[(Hm*2)+2]));posb = round(((H[(Hm*0)+1] * (j-off[0]+1)) + (H[(Hm*1)+1] * (i-off[1]+1)) + H[(Hm*2)+1]) / ((H[(Hm*0)+2] * (j-off[0]+1)) + (H[(Hm*1)+2] * (i-off[1]+1)) + H[(Hm*2)+2]));/* Find if the current pixel/point in the (warped) source image falls inside canvas. */if ((posa > 1)&&(posa < img2n)&&(posb>1)&&(posb<img2m)){ // 如果映射后的点在img2 中，则进行像素赋值/* If the current pixel in the source image hits the target (i.e., is inside the canvas) * we get its corresponding position in the 2D array. */cidx = ((j-1)*canvm)+(i-1); sidx = ((posa-1)*img2m)+(posb-1);/* Warping pixel in source image to canvas. */ if (cidx+ch1canv >= 0 && cidx+ch3canv < canvm*canvn*3 && sidx+ch1img2 >= 0 && sidx+ch3img2 < img2m*img2n*3){ // 像素点 赋值是按照数组指针，同一个点的rgb通道依次赋值 warped_img2[cidx+ch1canv] = img2[sidx+ch1img2];warped_img2[cidx+ch2canv] = img2[sidx+ch2img2];warped_img2[cidx+ch3canv] = img2[sidx+ch3img2];}}}}
8. 线性加权融合 Blending images by simple average (linear blending)
上一步得到的warped_img1是左图所在位置，warped_img2是右图所在位置，都是ch*cw 的尺寸
调用imageblending(warped_img1, warped_img2)：
二值化
imfill(img, 'holes')将二值化的值 作为左右图在每个像素点的权重，简单加权：(img1* w1+ img2* w2) / (w1+w2)
9. APAP，Moving DLT (projective)
左图img1 的内点的原始坐标Kp\mathrm{Kp}Kp，以左图左顶点为参考
将画布划分成99*99个网格，记录网格所有顶点的坐标：则 X, Y 维度都是100 *100，以画布左顶点为参考
变换画布顶点的坐标，则
Mv = [X(:)-off(1), Y(:)-off(2)];此时以左图左顶点为参考对每一个网格顶点，计算其与 img1 中所有内点的高斯权重 Gki ：
Gki = exp(-pdist2(Mv(i,:),Kp)./sigma^2);算法理论：
w∗i=exp(−∥x∗−xi∥2/σ2)这里的x∗是网格的顶点坐标，xi是经过RANSAC算法筛选后的匹配对(xi,xi′)中的左图关键点坐标！写成矩阵形式：h∗=argminh∥W∗Ah∥2，这是一个WSVD问题，其解为W∗A对应的最小特征值的右奇异特征向量！其中，权重矩阵W∗=diag([w∗1w∗1⋯w∗Nw∗N])∈R2N×2Nw_*^i=\exp(-\left\|\mathrm x_*-\mathrm x_i\right\|^2/\sigma^2) \\ 这里的 \mathrm x_*是网格的顶点坐标，\mathrm x_i 是经过\mathrm{RANSAC}算法筛选后的匹配对(\mathrm x_i,\mathrm x_i')中的左图关键点坐标！ \\ 写成矩阵形式：\\ \mathrm h_*= \mathop{\arg\min}_{\mathrm h} \ \ \| \mathrm{W_*Ah}\|^2，这是一个\mathrm {WSVD}问题，其解为\mathrm{W_*A}对应的最小特征值的右奇异特征向量！ \\其中，权重矩阵 \mathrm W_*=\mathrm{diag}([w_*^1 w_*^1\cdots w_*^N w_*^N])\in \mathbb{R}^{2N×2N} w∗i=exp(−∥x∗−xi∥2/σ2)这里的x∗是网格的顶点坐标，xi是经过RANSAC算法筛选后的匹配对(xi,xi′)中的左图关键点坐标！写成矩阵形式：h∗=argminh ∥W∗Ah∥2，这是一个WSVD问题，其解为W∗A对应的最小特征值的右奇异特征向量！其中，权重矩阵W∗=diag([w∗1w∗1⋯w∗Nw∗N])∈R2N×2N
为了避免数值问题，将权重过于接近0的数以一个小量 γ\gammaγ 来代替：
Wi = max(gamma,Gki);进行 wsvd 分解，调用
wsvd.cpp得到各个网格顶点对应的 局部单应矩阵同样地，进行
De-condition和De-normalize处理 ！
10. Warping images with Moving DLT 映射左右图到画布
imagewarping 函数传入的参数有：double(ch),double(cw),double(img2),Hmdlt,double(off),X(1,:),Y(:,1)'
其中，Hmdlt 矩阵的每一行是网格顶点的局部单应矩阵 按列排列后的结果
在空画布warped_img1 (ch, cw )中 根据偏移量off 确定 左图img1 的映射位置
确定空画布warped_img2 (ch, cw )中 每一点使用哪一个局部单应矩阵
/* Get grid point for current pixel(i,j) */ for(xinx=0; xinx < xn && j >= X[xinx]; xinx++); // xn =100,yn=100 for(yinx=0; yinx < yn && i >= Y[yinx]; yinx++);inx = yinx + xinx*yn;将该点映射到img2 中，如果在范围内，则进行颜色通道间的像素赋值
11. 线性加权融合 (方法同 DLT)
That’s all ! Byebye.{\color{Green} Byebye.}Byebye.
遗留问题：
- 将关键点匹配对内点代入A 矩阵时，符号有点问题 (vgg_H_from_x_lin.m)
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