Codeforces Round #470 (Div. 1)

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过题数：3
排名：315/1183

A. Primal Sport

题意

AliceAliceAlice 和 BobBobBob 两人在玩一个游戏，AliceAliceAlice 先开始，两人轮流进行，第 iii 次游戏中，对于一个整数 Xi" role="presentation" style="position: relative;">XiXiX_i，选择一个素数 p<Xip<Xip，然后找到一个最小的整数 YYY，使得 Y≥X" role="presentation" style="position: relative;">Y≥XY≥XY\geq X 且 YYY 能被 p" role="presentation" style="position: relative;">ppp 整除，将这个数字作为下一次游戏的新值 Xi+1Xi+1X_{i+1} 继续进行游戏，现在游戏已经进行了两次，得到了 X2X2X_2 的值，问最小的可能的 X0 (X0≥3)X0(X0≥3)X_0~(X_0\geq3) 的值为多少。

输入

输入为一个整数 X2 (4≤X2≤106)X2(4≤X2≤106)X_2~(4\leq X_2\leq10^6)，数据保证 X2X2X_2 是合数。

输出

输出最小的可能的 X0X0X_0 的值。

样例

输入
14
输出
6
提示
设 X0=6X0=6X_0=6，则其中一种合法的游戏过程如下: 1. AliceAliceAlice 选择 p=5p=5p=5，X1X1X_1 的值为 101010； 2. BobBobBob 选择 p=7p=7p=7，X2X2X_2 的值为 141414。

输入
20
输出
15
提示
设 X0=15X0=15X_0=15，则其中一种合法的游戏过程如下: 1. AliceAliceAlice 选择 p=2p=2p=2，X1X1X_1 的值为 161616； 2. BobBobBob 选择 p=5p=5p=5，X2X2X_2 的值为 202020。

输入
8192
输出
8191

题解

我们可以根据 XiXiX_i 的值确定 Xi−1Xi−1X_{i-1} 的合法的取值区间：[Xi−p+1,Xi][Xi−p+1,Xi][X_i-p+1,X_i]，其中 ppp 为 Xi" role="presentation" style="position: relative;">XiXiX_i 的最大的质因子，对于 Xi−1≥Xi−p+1Xi−1≥Xi−p+1X_{i-1}\geq X_i-p+1 的值，只要选择质数 ppp 就可以通过 Xi−1" role="presentation" style="position: relative;">Xi−1Xi−1X_{i-1} 得到 XiXiX_i 的值，对于 Xi−1<Xi−p+1Xi−1<Xi−p+1X_{i-1} 的值，如果选择质数 ppp，则只能得到 Xi−p" role="presentation" style="position: relative;">Xi−pXi−pX_i-p 的值，如果选择其他质数，由于 ppp 是最大的质因数，选择其他质数能够改变的增量一定小于 p" role="presentation" style="position: relative;">ppp，所以 X′i<XiXi′<XiX_i'。但是最小的 Xi−1Xi−1X_{i-1} 并不能得到最小的 Xi−2Xi−2X_{i-2}，因此对于 X2X2X_2 我们需要枚举所有可能的 X1X1X_1 的值，来找到最小的 X0X0X_0 的值。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <iomanip>
using namespace std;#define LL long long
const int maxn = 1000000 + 100;
int cnt, n;
bool vis[maxn];
int prime[maxn];void Prime() {for(int i = 2; i < maxn; ++i) {if(!vis[i]) {prime[cnt++] = i;}for(int j = 0; j < cnt && i < maxn / prime[j]; ++j) {int k = i * prime[j];vis[k] = true;if(i % prime[j] == 0) {break;}}}
}int Find(int x) {int ret;int xx = x;for(int i = 0; i < cnt && prime[i] <= xx / prime[i]; ++i) {while(x % prime[i] == 0) {x /= prime[i];ret = prime[i];}}if(x != 1) {ret = x;}return ret;
}int main() {#ifdef LOCALfreopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);#endif // LOCALios::sync_with_stdio(false);Prime();while(scanf("%d", &n) != EOF) {int Start = Find(n);int ans = INT_MAX;for(int i = n - Start + 1; i <= n; ++i) {int tmp = i - Find(i) + 1;if(tmp >= 3) {ans = min(ans, tmp);}}printf("%d\n", ans);}return 0;
}

B. Producing Snow

题意

BobBobBob 从第 111 天到第 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn 天每天堆体积为 ViViV_i 体积的雪人，第 iii 天的时候每一个已经堆好的雪人会融化 Ti" role="presentation" style="position: relative;">TiTiT_i 的体积，问在第 iii 天当天所有已经堆好的且没有完全融化的雪人会融化的总的体积。

输入

第一行包含一个整数 n (1≤n≤105)" role="presentation" style="position: relative;">n (1≤n≤105)n (1≤n≤105)n~(1\leq n\leq10^5)，第 222 行包含 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn 个整数 V1,V2,⋯,Vn (0≤Vi≤109)V1,V2,⋯,Vn(0≤Vi≤109)V_1,V_2,\cdots,V_n~(0\leq V_i\leq10^9)，第 333 行包含 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn 个整数 T1,T2,⋯,Tn (0≤Ti≤109)T1,T2,⋯,Tn(0≤Ti≤109)T_1,T_2,\cdots,T_n~(0\leq T_i\leq10^9)。

输出

输出 nnn 个整数，第 i" role="presentation" style="position: relative;">iii 个整数表示第 iii 天融化的雪人体积。

样例

输入
3 10 10 5 5 7 2
输出
5 12 4
提示
第一天堆了一个体积为 10" role="presentation" style="position: relative;">101010 的雪人，融化了 555 的体积，剩下一个体积为 5" role="presentation" style="position: relative;">555 的雪人，第二天堆了一个体积为 101010 的雪人，每个雪人都融化 777 的体积，第一天的 5" role="presentation" style="position: relative;">555 体积的雪人全都融化了，第二天的雪人融化了 777 体积，总共融化了 12" role="presentation" style="position: relative;">121212 体积，第二天只剩下一个体积为 333 的雪人，第三天堆了一个体积为 5" role="presentation" style="position: relative;">555 的雪人，第二天雪人剩下的体积和第三天雪人的体积都大于等于第三天融化的体积，第三天总共融化了 444 体积的雪人。

输入
5 30 25 20 15 10 9 10 12 4 13
输出
9 20 35 11 25

题解

假设第 1" role="presentation" style="position: relative;">111 天堆起来的雪人体积为无穷大，那么到第 iii 天的时候这个雪人融化的体积就为 ∑j=1iTj" role="presentation" style="position: relative;">∑ij=1Tj∑j=1iTj\sum_{j=1}^iT_j，第 iii 天刚堆起来的雪人没有受到前 i−1" role="presentation" style="position: relative;">i−1i−1i-1 天融化的影响，但是可以假设这个雪人是从第 111 天堆起来的，第 i" role="presentation" style="position: relative;">iii 天的时候融化了 ∑i−1j−1Ti∑j−1i−1Ti\sum_{j-1}^{i-1}T_i 的体积，导致它第 iii 天的体积为 Vi" role="presentation" style="position: relative;">ViViV_i，因此可以认为这个雪人在第 111 天堆起来的时候的体积为 Vi+∑j=1i−1Tj" role="presentation" style="position: relative;">Vi+∑i−1j=1TjVi+∑j=1i−1TjV_i+\sum_{j=1}^{i-1}T_j，我们将到第 iii 天的所有雪人的体积都转化为 Vi′=Vi+∑j=1i−1Tj" role="presentation" style="position: relative;">V′i=Vi+∑i−1j=1TjVi′=Vi+∑j=1i−1TjV_i'=V_i+\sum_{j=1}^{i-1}T_j 后放入 mapmapmap 中，到第 iii 天完全融化的雪人就是 Vk′≤∑j=1iTj" role="presentation" style="position: relative;">V′k≤∑ij=1TjVk′≤∑j=1iTjV_k'\leq\sum_{j=1}^iT_j 的雪人，将这些雪人在第 iii 天融化的体积（Vk′−∑j=1i−1Tj" role="presentation" style="position: relative;">V′k−∑i−1j=1TjVk′−∑j=1i−1TjV_k'-\sum_{j=1}^{i-1}T_j）计算出来，然后从 mapmapmap 中删去它们，再计算第 iii 天能融化体积 Ti" role="presentation" style="position: relative;">TiTiT_i 的雪人的个数 cntcntcnt（可以 O(1)O(1)O(1) 维护），于是第 iii 天融化的雪人体积就为 ∑(Vj′−∑k=1i−1Tk)+Ti×cnt" role="presentation" style="position: relative;">∑(V′j−∑i−1k=1Tk)+Ti×cnt∑(Vj′−∑k=1i−1Tk)+Ti×cnt\sum(V_j'-\sum_{k=1}^{i-1}T_k)+T_i\times cnt，其中 ∑i−1k=1Tk<V′j≤∑ik=1Tk∑k=1i−1Tk<Vj′≤∑k=1iTk\sum_{k=1}^{i-1}T_k。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <iomanip>
using namespace std;#define LL long long
const int maxn = 100000 + 100;
int n, cnt;
LL mp_cnt;
map<LL, int> mp;
map<LL, int>::iterator it, itt;
LL v[maxn], t[maxn];
map<LL, int>::iterator del[maxn];int main() {#ifdef LOCALfreopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);#endif // LOCALios::sync_with_stdio(false);while(scanf("%d", &n) != EOF) {mp_cnt = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%I64d", &v[i]);}for(int i = 1; i <= n; ++i) {scanf("%I64d", &t[i]);t[i] += t[i - 1];}mp.clear();LL ans;for(int i = 1; i <= n; ++i) {ans = 0;cnt = 0;v[i] += t[i - 1];++mp[v[i]];++mp_cnt;it = mp.upper_bound(t[i]);for(itt = mp.begin(); itt != it; ++itt) {ans += ((itt->first) - t[i - 1]) * (itt->second);del[cnt++] = itt;mp_cnt -= itt->second;}for(int j = 0; j < cnt; ++j) {mp.erase(del[j]);}ans += mp_cnt * (t[i] - t[i - 1]);if(i != 1) {printf(" ");}printf("%I64d", ans);}printf("\n");}return 0;
}

C. Perfect Security

题意

有两个长度为 nnn 的序列 a1,a2,⋯,an" role="presentation" style="position: relative;">a1,a2,⋯,ana1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_n 和 b1,b2,⋯,bnb1,b2,⋯,bnb_1,b_2,\cdots,b_n，对于每一个 aiaia_i，在 bbb 序列中找到一个数字与其异或，成为新序列的第 i" role="presentation" style="position: relative;">iii 个元素 cicic_i，然后从 bbb 序列中删去被选中的数字，求能够构成的新序列中字典序最小的序列。

输入

第一行包含一个整数 n (1≤N≤3×105)" role="presentation" style="position: relative;">n (1≤N≤3×105)n (1≤N≤3×105)n~(1\leq N\leq3\times10^5)，第二行为 nnn 个整数 a1,a2,⋯,an (0≤ai<230)" role="presentation" style="position: relative;">a1,a2,⋯,an (0≤ai<230)a1,a2,⋯,an (0≤ai<230)a_1,a_2,\cdots,a_n~(0\leq a_i，第三行为 nnn 个整数 b1,b2,⋯,bn (0≤bi<230)" role="presentation" style="position: relative;">b1,b2,⋯,bn (0≤bi<230)b1,b2,⋯,bn (0≤bi<230)b_1,b_2,\cdots,b_n~(0\leq b_i。

输出

输出 nnn 个整数，第 i" role="presentation" style="position: relative;">iii 个整数表示所求新序列的第 iii 项。

样例

输入

3
8 4 13
17 2 7

输出

10 3 28

提示

8⨁2=10" role="presentation" style="position: relative;">8⨁2=108⨁2=108\bigoplus2=10，4⨁7=34⨁7=34\bigoplus7=3，13⨁17=2813⨁17=2813\bigoplus17=28。对于其他可能的答案：(25,6,10),(25,3,15),(10,21,10),(15,21,15),(15,6,28)(25,6,10),(25,3,15),(10,21,10),(15,21,15),(15,6,28)(25,6,10),(25,3,15),(10,21,10),(15,21,15),(15,6,28)，都比 (10,3,28)(10,3,28)(10,3,28) 的字典序大。

输入
5 12 7 87 22 11 18 39 9 12 16
输出
0 14 69 6 44

输入
10 331415699 278745619 998190004 423175621 42983144 166555524 843586353 802130100 337889448 685310951 226011312 266003835 342809544 504667531 529814910 684873393 817026985 844010788 993949858 1031395667
输出
128965467 243912600 4281110 112029883 223689619 76924724 429589 119397893 613490433 362863284

题解

将所有 bbb 序列中的数字建一棵字典树，从 1" role="presentation" style="position: relative;">111 到 nnn 对于每一个 i" role="presentation" style="position: relative;">iii，都取一个 bbb 序列中与 ai" role="presentation" style="position: relative;">aiaia_i 异或值最小的，然后将这个数字在字典树中出现的次数 −1−1-1。

过题代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <iomanip>
using namespace std;#define LL long long
const int maxm = 300000 + 100;
const int maxn = 300000 * 32 + 100;
const int Size = 2;
struct Trie {int root, cnt;int val[maxn], tree[maxn][Size];int creat() {++cnt;memset(tree[cnt], 0, sizeof(tree[cnt]));val[cnt] = 0;return cnt;}void Init() {cnt = 0;root = creat();}int id(int x, int dig) {return ((x >> (31 - dig)) & 1);}void add(int x) {int pos = root;for(int i = 0; i < 32; ++i) {int w = id(x, i);if(tree[pos][w] == 0) {tree[pos][w] = creat();}pos = tree[pos][w];++val[pos];}}int query(int x) {int ret = 0;int pos = root;for(int i = 0; i < 32; ++i) {int w = id(x, i);if(tree[pos][w] == 0 || val[tree[pos][w]] == 0) {w = !w;ret |= (1 << (31 - i));}pos = tree[pos][w];--val[pos];}return ret;}
};
Trie t;
int n, x;
int num[maxn];int main() {#ifdef LOCALfreopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);#endif // LOCALios::sync_with_stdio(false);while(scanf("%d", &n) != EOF) {t.Init();for(int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &num[i]);}for(int i = 0; i < n; ++i) {scanf("%d", &x);t.add(x);}for(int i = 0; i < n; ++i) {if(i != 0) {printf(" ");}printf("%d", t.query(num[i]));}printf("\n");}return 0;
}

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Codeforces Round #470 (Div. 1)

A. Primal Sport

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