【矩阵论】2. 矩阵分解—

矩阵论
1. 准备知识——复数域上的矩阵与换位公式)
1. 准备知识——复数域上的内积域正交阵
1. 准备知识——相似对角化与合同&正定阵
2. 矩阵分解—— SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——乔利斯分解&平方根公式
2. 矩阵分解——正规谱分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规分解
2. 矩阵分解——单阵及特征值特征向量一些求法
2. 矩阵分解——高低分解
3. 矩阵运算与函数——张量积

矩阵分解可以得到简化的乘积矩阵，可以简化后续的计算与处理度

2.4.5 正规谱分解

a. 正规分解推导

若A=An×n正规，互异根为λ1,⋯,λk，则有QHAQ=D=(λ1I1⋱λkIk)其中Q为U阵，QH=Q−1,I1,⋯,Ik为单位阵(如D=(2(11)3(11))=(2I13I2))可设Q−1AQ=D=(λ1I10⋱0λkIk)(Q为U阵，QH=Q−1)写为D=λ1(I10⋱00)+λ2(00I20⋱)+⋯+λk(00⋱0Ik)则令D1=(I10⋱00),D2=(00I20⋱),⋯,Dk=(00⋱0Ik)⇒Q−1AQ=D=λ1D1+λ2D2+⋯+λkDk\begin{aligned} &若A=A_{n\times n} 正规，互异根为 \lambda_1,\cdots,\lambda_k，则有Q^HAQ=D=\left( \begin{matrix} \lambda_1I_1&&\\ &\ddots&\\ &&\lambda_kI_k \end{matrix} \right)\\ &其中Q为U阵，Q^H=Q^{-1},I_1,\cdots,I_k为单位阵\\ &\left(如D=\left( \begin{matrix} 2\left( \begin{matrix} 1&\\ &1 \end{matrix} \right)\\ &3\left( \begin{matrix} 1&\\ &1 \end{matrix} \right) \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2I_1&\\ &3I_2 \end{matrix} \right)\right)\\ &可设 Q^{-1}AQ=D=\left( \begin{matrix} \lambda_1I_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&\lambda_kI_k \end{matrix} \right)(Q为U阵，Q^H=Q^{-1})\\ &写为D=\lambda_1\left( \begin{matrix} I_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&0 \end{matrix} \right)+\lambda_2\left( \begin{matrix} 0&&0\\ &I_2&\\ 0&&\ddots \end{matrix} \right)+\cdots+\lambda_k\left( \begin{matrix} 0&&0\\ &\ddots&\\ 0&&I_k \end{matrix} \right)\\ &则令D_1=\left( \begin{matrix} I_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&0 \end{matrix} \right),D_2=\left( \begin{matrix} 0&&0\\ &I_2&\\ 0&&\ddots \end{matrix} \right),\cdots,D_k=\left( \begin{matrix} 0&&0\\ &\ddots&\\ 0&&I_k \end{matrix} \right)\\ &\Rightarrow Q^{-1}AQ=D=\lambda_1D_1+\lambda_2D_2+\cdots+\lambda_kD_k\\ \end{aligned} 若A=An×n正规，互异根为λ1,⋯,λk，则有QHAQ=D=λ1I1⋱λkIk其中Q为U阵，QH=Q−1,I1,⋯,Ik为单位阵如D=2(11)3(11)=(2I13I2)可设Q−1AQ=D=λ1I10⋱0λkIk(Q为U阵，QH=Q−1)写为D=λ1I10⋱00+λ200I20⋱+⋯+λk00⋱0Ik则令D1=I10⋱00,D2=00I20⋱,⋯,Dk=00⋱0Ik⇒Q−1AQ=D=λ1D1+λ2D2+⋯+λkDk

则可得出结论：

和为单位阵：D1+D2+⋯+Dk=(I1⋱Ik)=I(单位阵)D_1+D_2+\cdots+D_k=\left( \begin{matrix} I_1&&\\ &\ddots&\\ &&I_k \end{matrix} \right)=I(单位阵)D1+D2+⋯+Dk=I1⋱Ik=I(单位阵)
正交：D1D2=0,⋯,DiDj=0(i≠j)D_1D_2=0,\cdots,D_iD_j=0(i\neq j)D1D2=0,⋯,DiDj=0(i=j)
幂等：D12=D1,⋯,Dk2=Dk，且D1H=D1,⋯,DkH=DkD_1^2=D_1,\cdots,D_k^2=D_k，且D_1^H=D_1,\cdots,D_k^H=D_kD12=D1,⋯,Dk2=Dk，且D1H=D1,⋯,DkH=Dk

故可等价写为：
QHAQ=D=λ1D1+λ2D2+⋯+λkDk⇒A=QDQH=λ1QD1QH+λ2QD2QH+⋯+λkQDkQH可令G1=QD1QH,⋯,Gk=QDkQH⇒A=λ1G1+⋯+λkGk\begin{aligned} &Q^HAQ=D=\lambda_1D_1+\lambda_2D_2+\cdots+\lambda_kD_k\\ &\Rightarrow A=QDQ^H=\lambda_1QD_1Q^H+\lambda_2QD_2Q^H+\cdots+\lambda_kQD_kQ^H\\ &可令G_1=QD_1Q^H,\cdots,G_k=QD_kQ^H\\ &\Rightarrow A=\lambda_1G_1+\cdots+\lambda_kG_k \end{aligned} QHAQ=D=λ1D1+λ2D2+⋯+λkDk⇒A=QDQH=λ1QD1QH+λ2QD2QH+⋯+λkQDkQH可令G1=QD1QH,⋯,Gk=QDkQH⇒A=λ1G1+⋯+λkGk

有类似推论：

G1+G2+⋯+Gk=IG_1+G_2+\cdots+G_k=IG1+G2+⋯+Gk=I
∵G1+G2+⋯+Gk=Q(D1Q−1+D2+⋯+Dk)Q−1=QIQ−1=I\because G_1+G_2+\cdots+G_k=Q(D_1Q^{-1}+D_2+\cdots+D_k)Q^{-1}=QIQ^{-1}=I ∵G1+G2+⋯+Gk=Q(D1Q−1+D2+⋯+Dk)Q−1=QIQ−1=I
G1G2=0,⋯,GiGj=0(i≠j)G_1G_2=0,\cdots,G_iG_j=0(i \neq j)G1G2=0,⋯,GiGj=0(i=j)
∵G1G2=(QD1Q−1)(QD2Q−1)=0\because G_1G_2=(QD_1Q^{-1})(QD_2Q^{-1})=0 ∵G1G2=(QD1Q−1)(QD2Q−1)=0
G12=G1,⋯,Gk2=GkG_1^2=G_1,\cdots,G_k^2=G_kG12=G1,⋯,Gk2=Gk，且 G1H=G1,⋯,GkH=GkG_1^H=G_1,\cdots,G_k^H=G_kG1H=G1,⋯,GkH=Gk 都是Hermite阵

b. 正规阵谱分解与谱阵性质

若 A=An×nA=A_{n\times n}A=An×n 正规，全体互异根为 λ1,⋯,λk\lambda_1,\cdots,\lambda_kλ1,⋯,λk，则有 A=λ1G1+λ2G2+⋯+λkGkA=\lambda_1G_1+\lambda_2G_2+\cdots+\lambda_kG_kA=λ1G1+λ2G2+⋯+λkGk ，其中 G1,⋯,GkG_1,\cdots,G_kG1,⋯,Gk 为 AAA 的谱阵

性质

①和为I：G1+G2+⋯+Gk=I②正交：G1G2=0,⋯,GiGj=0(i≠j)③幂等：G12=G1,⋯,Gk2=Gk(幂等),且G1H=G1,⋯,GkH=Gk④正规阵幂次：Ap=λ1pG1+⋯+λkGk,p=0,1,2.⋯⑤正规阵函数：f(A)=f(λ1)G1+⋯+f(λk)Gk,f(x)=c0+c1x1+⋯+cpxp∵f(A)=c0I+c1A+⋯+ckAp=c0(G1+⋯+Gk)+c1(λ1G1+λ2G2+⋯+λkGk)+⋯+cp(λ1pG1+λ2pG2+⋯+λpkGk)=(c0+c1λ1+cpλ1k)G1+(c0+c1λ2+⋯+cpλ2pk)G2+⋯+(c0+c1λk+⋯+cpλkp)Gk=f(λ1)G1+⋯+f(λk)Gk⑥正规阵求法：设A正规，全体不同根为λ1,λ2,⋯,λk，则有谱阵公式G1,G2,⋯,GkG1=(A−λ2I)⋯(A−λkI)(λ1−λ2)⋯(λ1−λk),G2=(A−λ1I)(A−λ3I)⋯(A−λkI)(λ2−λ1)(λ2−λ3)⋯(λ2−λk)⋯Gk=(A−λ1I)(A−λ2I)⋯(A−λk−1I)(λk−λ1)(λk−λ2)⋯(λk−λk−1)⑦谱阵中列是A的特征向量：AG1=λ1G1,AG2=λ2G2,⋯,AGk=λkGk∵AG1=(λ1G1+⋯+λkGk)G1=λ1G1\begin{aligned} &①和为I：G_1+G_2+\cdots+G_k=I\\ &②正交：G_1G_2=0,\cdots,G_iG_j=0(i\neq j)\\ &③幂等： G_1^{2}=G_1,\cdots,G_k^{2}=G_k(幂等),且G_1^H=G_1,\cdots ,G_k^H=G_k\\ &④正规阵幂次：A^p=\lambda_1^pG_1+\cdots+\lambda_kG_k,p=0,1,2.\cdots\\ &⑤正规阵函数：f(A)=f(\lambda_1)G_1+\cdots+f(\lambda_k)G_k,f(x)=c_0+c_1x_1+\cdots+c_px^p\\ & \quad \because f(A)=c_0I+c_1A+\cdots+c_kA^p\\ & \quad \quad =c_0(G_1+\cdots+G_k)+c_1(\lambda_1G_1+\lambda_2G_2+\cdots+\lambda_kG_k)+\\ & \quad \quad \quad \cdots+c_p(\lambda_1^pG_1+\lambda_2^pG_2+\cdots+\lambda_p^kG_k)\\ & \quad \quad =(c_0+c_1\lambda_1+c_p\lambda_1^k)G_1+(c_0+c_1\lambda_2+\cdots+c_p\lambda_2^pk)G_2+\\ & \quad \quad \quad \cdots+(c_0+c_1\lambda_k+\cdots+c_p\lambda_k^p)G_k\\ & \quad \quad =f(\lambda_1)G_1+\cdots+f(\lambda_k)G_k\\ &⑥正规阵求法：设A正规，全体不同根为 \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k，则有谱阵公式G_1,G_2,\cdots,G_k\\ &\quad G_1=\frac{(A-\lambda_2I)\cdots(A-\lambda_kI)}{(\lambda_1-\lambda_2)\cdots(\lambda_1-\lambda_k)},G_2=\frac{(A-\lambda_1I)(A-\lambda_3I)\cdots(A-\lambda_kI)}{(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_2-\lambda_3)\cdots(\lambda_2-\lambda_k)}\\ &\quad\cdots\\ &\quad G_k=\frac{(A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)\cdots(A-\lambda_{k-1}I)}{(\lambda_k-\lambda_1)(\lambda_k-\lambda_2)\cdots(\lambda_k-\lambda_{k-1})}\\ &⑦谱阵中列是A的特征向量：AG_1=\lambda_1G_1,AG_2=\lambda_2G_2,\cdots,AG_k=\lambda_kG_k\\ &\quad \because AG_1=(\lambda_1G_1+\cdots+\lambda_kG_k)G_1=\lambda_1G_1 \end{aligned} ①和为I：G1+G2+⋯+Gk=I②正交：G1G2=0,⋯,GiGj=0(i=j)③幂等：G12=G1,⋯,Gk2=Gk(幂等),且G1H=G1,⋯,GkH=Gk④正规阵幂次：Ap=λ1pG1+⋯+λkGk,p=0,1,2.⋯⑤正规阵函数：f(A)=f(λ1)G1+⋯+f(λk)Gk,f(x)=c0+c1x1+⋯+cpxp∵f(A)=c0I+c1A+⋯+ckAp=c0(G1+⋯+Gk)+c1(λ1G1+λ2G2+⋯+λkGk)+⋯+cp(λ1pG1+λ2pG2+⋯+λpkGk)=(c0+c1λ1+cpλ1k)G1+(c0+c1λ2+⋯+cpλ2pk)G2+⋯+(c0+c1λk+⋯+cpλkp)Gk=f(λ1)G1+⋯+f(λk)Gk⑥正规阵求法：设A正规，全体不同根为λ1,λ2,⋯,λk，则有谱阵公式G1,G2,⋯,GkG1=(λ1−λ2)⋯(λ1−λk)(A−λ2I)⋯(A−λkI),G2=(λ2−λ1)(λ2−λ3)⋯(λ2−λk)(A−λ1I)(A−λ3I)⋯(A−λkI)⋯Gk=(λk−λ1)(λk−λ2)⋯(λk−λk−1)(A−λ1I)(A−λ2I)⋯(A−λk−1I)⑦谱阵中列是A的特征向量：AG1=λ1G1,AG2=λ2G2,⋯,AGk=λkGk∵AG1=(λ1G1+⋯+λkGk)G1=λ1G1

谱阵求法

由推论⑤可知，取k个不同的函数f(x)可求出谱阵 G1,G2,⋯.GkG_1,G_2,\cdots.G_kG1,G2,⋯.Gk

证明：

A正规有2个不同根

G1=A−λ2Iλ1−λ2,G2=I−G1=A−λ1Iλ2−λ1\begin{aligned} G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2},G_2=I-G_1=\frac{A-\lambda_1I}{\lambda_2-\lambda_1} \end{aligned} G1=λ1−λ2A−λ2I,G2=I−G1=λ2−λ1A−λ1I

A正规且有3个不同根

G1=(A−λ2I)(A−λ3I)(λ1−λ2)(λ1−λ3),G2=(A−λ1I)(A−λ3I)(λ2−λ1)(λ2−λ3),G3=I−G1−G2=(A−λ1I)(A−λ2I)(λ3−λ1)(λ3−λ2)\begin{aligned} &G_1=\frac{(A-\lambda_2I)(A-\lambda_3I)}{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_1-\lambda_3)},G_2=\frac{(A-\lambda_1I)(A-\lambda_3I)}{(\lambda_2-\lambda_1)(\lambda_2-\lambda_3)},\\ &G_3=I-G_1-G_2=\frac{(A-\lambda_1I)(A-\lambda_2I)}{(\lambda_3-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_2)} \end{aligned} G1=(λ1−λ2)(λ1−λ3)(A−λ2I)(A−λ3I),G2=(λ2−λ1)(λ2−λ3)(A−λ1I)(A−λ3I),G3=I−G1−G2=(λ3−λ1)(λ3−λ2)(A−λ1I)(A−λ2I)

正规分解性质的应用例

1

A=(10−2000−204)(实对称正规阵)，求A与f(A)的谱分解，与A100\begin{aligned} A=\left( \begin{matrix} 1&0&-2\\ 0&0&0\\ -2&0&4 \end{matrix} \right)(实对称正规阵)，求A与f(A)的谱分解，与A^{100} \end{aligned} A=10−2000−204(实对称正规阵)，求A与f(A)的谱分解，与A100

可知A为秩1矩阵，r(A)=1,特征根为λ(A)=5,0,0,不同根为λ1=5,λ2=0G1=A−λ2Iλ1−λ2=15(10−2000−204),G2=A−λ1Iλ2−λ1=I−G1=15(402050201)得谱分解：A=λ1G1+λ2G2,且f(A)=f(λ1)G1+f(λ2)G2即f(A)=f(5)G1+f(0)G2令f(x)=x100⇒A100=f(5)G1+f(0)G2=5100G1=510015A=599A由于G中列向量都是A的特征向量，所以λ1=5的特征向量α1=(10−2)λ2=0的特征向量α2=(201),α3=(010)\begin{aligned} &可知A为秩1矩阵，r(A)=1,特征根为\lambda(A)={5,0,0},不同根为\lambda_1=5,\lambda_2=0\\ &G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{1}{5}\left( \begin{matrix} 1&0&-2\\ 0&0&0\\ -2&0&4 \end{matrix} \right),G_2=\frac{A-\lambda_1I}{\lambda_2-\lambda_1}=I-G_1=\frac{1}{5}\left( \begin{matrix} 4&0&2\\ 0&5&0\\ 2&0&1 \end{matrix} \right)\\ &得谱分解：A=\lambda_1G_1+\lambda_2G_2,且f(A)=f(\lambda_1)G_1+f(\lambda_2)G_2\\ &即f(A)=f(5)G_1+f(0)G_2\\ &令f(x)=x^{100}\Rightarrow A^{100}=f(5)G_1+f(0)G_2=5^{100}G_1=5^{100}\frac{1}{5}A=5^{99}A\\ &由于G中列向量都是A的特征向量，所以\lambda_1=5的特征向量\alpha_1=\left( \begin{matrix} 1\\0\\-2 \end{matrix} \right)\\ &\lambda_2=0的特征向量\alpha_2=\left( \begin{matrix} 2\\0\\1 \end{matrix} \right),\alpha_3=\left( \begin{matrix} 0\\1\\0 \end{matrix} \right) \end{aligned} 可知A为秩1矩阵，r(A)=1,特征根为λ(A)=5,0,0,不同根为λ1=5,λ2=0G1=λ1−λ2A−λ2I=5110−2000−204,G2=λ2−λ1A−λ1I=I−G1=51402050201得谱分解：A=λ1G1+λ2G2,且f(A)=f(λ1)G1+f(λ2)G2即f(A)=f(5)G1+f(0)G2令f(x)=x100⇒A100=f(5)G1+f(0)G2=5100G1=510051A=599A由于G中列向量都是A的特征向量，所以λ1=5的特征向量α1=10−2λ2=0的特征向量α2=201,α3=010

2 2.分块法

c. 新平方根公式

A=λ1G1+λ2G2+⋯+λnGn条件：A正规，且A=λ1G1+⋯+λkGk\begin{aligned} &\sqrt{A}=\sqrt{\lambda_1}G_1+\sqrt{\lambda_2}G_2+\cdots+\sqrt{\lambda_n}G_n\\ &条件：A正规，且A=\lambda_1G_1+\cdots+\lambda_kG_k \end{aligned} A=λ1G1+λ2G2+⋯+λnGn条件：A正规，且A=λ1G1+⋯+λkGk

证明：

(A)2=(λ1G1+λ2G2+⋯+λkGk)2=λ1G12+λ2G22+⋯+λkGk2=λ1G1+λ2G2+⋯+λkGk\begin{aligned} (\sqrt{A})^2&=(\sqrt{\lambda_1}G_1+\sqrt{\lambda_2}G_2+\cdots+\sqrt{\lambda_k}G_k)^2\\ &=\lambda_1G_1^2+\lambda_2G_2^2+\cdots+\lambda_kG_k^2\\ &=\lambda_1G_1+\lambda_2G_2+\cdots+\lambda_kG_k \end{aligned} (A)2=(λ1G1+λ2G2+⋯+λkGk)2=λ1G12+λ2G22+⋯+λkGk2=λ1G1+λ2G2+⋯+λkGk

eg

A=(5445),求AA=\left( \begin{matrix} 5&4\\ 4&5 \end{matrix} \right),求\sqrt{A} A=(5445),求A

由于A为行和相等矩阵，∴λ(A)={9,tr(A)−9}={9,1},令λ1=9,λ2=1⇒G1=A−λ2Iλ1−λ2=12(1111),G2=A−λ1Iλ2−λ1=12(1−1−11)⇒A=λ1G1+λ2G2=3G1+G2=(2112)\begin{aligned} &由于A为行和相等矩阵，\therefore \lambda(A)=\{9,tr(A)-9\}=\{9,1\},令\lambda_1=9,\lambda_2=1\\ &\Rightarrow G_1=\frac{A-\lambda_2I}{\lambda_1-\lambda_2}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&1\\1&1 \end{matrix} \right),G_2=\frac{A-\lambda_1I}{\lambda_2-\lambda_1}=\frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 1&-1\\-1&1 \end{matrix} \right)\\ &\Rightarrow \sqrt{A}=\sqrt{\lambda_1}G_1+\sqrt{\lambda_2}G_2=3G_1+G_2=\left( \begin{matrix} 2&1\\1&2 \end{matrix} \right) \end{aligned} 由于A为行和相等矩阵，∴λ(A)={9,tr(A)−9}={9,1},令λ1=9,λ2=1⇒G1=λ1−λ2A−λ2I=21(1111),G2=λ2−λ1A−λ1I=21(1−1−11)⇒A=λ1G1+λ2G2=3G1+G2=(2112)