内外分解和谱分解问题的解析计算及其MATLAB 仿真

摘 要

内外分解及谱分解问题是控制领域的一个重要问题，其应用范围非常广泛，

在许多重要问题上都发挥了关键的作用。

本文首先在第一章中介绍了内外分解及谱分解问题的三个主要的应用领域，

即：鲁棒滤波问题、线性二次控制问题和H 2 / H ∞ 最优控制问题，并介绍了在这

三个领域中，内外分解及谱分解方法是如何发挥其重要作用的。

随后的第二章分别介绍了在国际范围内，历史上提出的重要内外分解方法和

谱分解方法，并对它们各自具有的优势和不足作了比较。以此为铺垫，本章最后

介绍了新的内外分解及谱分解算法的特点及基本思想，那就是“矩阵的零极点分

布与其逆矩阵的部分分式展开密切相关”。

为了使读者能更好的了解和明白随后的算法推导过程、分析过程以及举证过

程，本文在第三章中集中呈现了在后面的章节中将要直接使用或渗透其中的一些

基本概念，其中包括了控制理论概念和数学概念。

本文的核心内容——一种新的、解析的内外分解及谱分解算法的推导及证明

过程在第四章中呈现。对于两类系统，即：仅具有单重开右半平面零点的系统和

具有多重开右半平面零点的系统，分别通过应用复分析技术，得到解析方程。本

文提出的新方法与纯数字计算的方法相比，在计算上更为简单和高效：在整个计

算过程中，只需找到系统的开右半平面零点及其零点方向，然后根据程序计算即

可。这一点，本文将利用3 个算例仿真加以说明。

本文提出的新解析算法的另一个突出优点在于易于与数学计算工具软件

(如：MATLAB )结合，而且结合之后的算法将具有更高的计算效率和更简易

的计算程序。本文的第五章将集中这一点。不仅严格根据第四章提出的新算法编

制的 MATLAB 程序清单将会给出，并且在 4.3 节出现的三个数字算例将在

MATLAB 中被重新计算,以直观生动地证明程序的正确性及高效性。

最后，本文的第六章对全文进行了总结，并对以后的研究课题进行了展望，

I

其中最主要的就是要把研究得出的新的内外分解和谱分解算法与实际应用相结

合，把其应有的作用和价值发挥出来。比如：在利用 IMC 控制结构推导最优控

制器时，把新的算法应用到其中，可以得到一个完全解析的最优控制器的推导过

程。这将成为以后工作的重点。

关键词：内外分解，谱分解；零点，零点方向；Lyapunov 方程

II

Analytic Solution to Inner-Outer & Spectral Factorization

Problems and Its MATLAB Simulation

ABSTRACT

The inner-outer and spectral factorization problem is a very important subject in

the realm of control theory with an extensive application range. It has been playing a

pivotal role in many fields.

In this paper, the three major application realms of inner-outer and spectral

factorization are introduced, respectively ，in Chapter 1, which are robust filter

problem, linear quadratic control problem and H 2 / H ∞ optimal control problem, and

how crucial functions it performs in these realms.

Then, in Chapter 2, significant inner-oute