红黑树特点以及如何构建红黑树

红黑树的五大特点：

I、红黑树的五个性质：
1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
2）根结点是黑的。
3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

II、红黑树插入的几种情况：
情况1，z的叔叔y是红色的。
情况2：z的叔叔y是黑色的，且z是右孩子
情况3：z的叔叔y是黑色的，且z是左孩子

III、红黑树删除的几种情况。
情况1：x的兄弟w是红色的。
情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。
情况3：x的兄弟w是黑色的，且w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。
情况4：x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子是红色的。

除此之外，还得明确一点：
IV、我们知道，红黑树插入、或删除结点后，
可能会违背、或破坏红黑树的原有的性质，
所以为了使插入、或删除结点后的树依然维持为一棵新的红黑树，
那就要做俩方面的工作：
1、部分结点颜色，重新着色
2、调整部分指针的指向，即左旋、右旋。

V、并区别以下俩种操作：
1)红黑树插入、删除结点的操作，RB-INSERT(T, z)，RB-DELETE(T, z)
2).红黑树已经插入、删除结点之后，
为了保持红黑树原有的红黑性质而做的恢复与保持红黑性质的操作。
如RB-INSERT-FIXUP(T, z)，RB-DELETE-FIXUP(T, x)

以上这5点，我已经在我前面的2篇文章，都已阐述过不少次了，希望，你现在已经透彻明了。

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本文，着重图解分析红黑树插入、删除结点后为了维持红黑性质而做修复工作的各种情况。
[下文各种插入、删除的情况，与我的第二篇文章，红黑树算法的实现与剖析相对应]

ok，开始。
一、在下面的分析中，我们约定：
要插入的节点为，N
父亲节点，P
祖父节点，G
叔叔节点，U
兄弟节点，S

如下图所示，找一个节点的祖父和叔叔节点:
node grandparent(node n) //祖父

{
return n->parent->parent;
}

node uncle(node n) //叔叔

{
     if (n->parent == grandparent(n)->left)
         return grandparent(n)->right;
     else
         return grandparent(n)->left;
}

二、红黑树插入的几种情况
情形1: 新节点N位于树的根上，没有父节点
void insert_case1(node n) {
     if (n->parent == NULL)
         n->color = BLACK;
     else
         insert_case2(n);
}

情形2: 新节点的父节点P是黑色
void insert_case2(node n) {
     if (n->parent->color == BLACK)
         return; /* 树仍旧有效 */
     else
         insert_case3(n);
}

情形3:父节点P、叔叔节点U，都为红色，
[对应第二篇文章中，的情况1：z的叔叔是红色的。]
void insert_case3(node n) {
     if (uncle(n) != NULL && uncle(n)->color == RED) {
         n->parent->color = BLACK;
         uncle(n)->color = BLACK;
         grandparent(n)->color = RED;
         insert_case1(grandparent(n));   //因为祖父节点可能是红色的，违反性质4，递归情形1.
     }
     else
         insert_case4(n);   //否则，叔叔是黑色的，转到下述情形4处理。

此时新插入节点N做为P的左子节点或右子节点都属于上述情形3,上图仅显示N做为P左子的情形。

情形4: 父节点P是红色，叔叔节点U是黑色或NIL;
插入节点N是其父节点P的右孩子，而父节点P又是其父节点的左孩子。
[对应我第二篇文章中，的情况2：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子]
void insert_case4(node n) {
     if (n == n->parent->right && n->parent == grandparent(n)->left) {
         rotate_left(n->parent);
         n = n->left;
     } else if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->right) {
         rotate_right(n->parent);
         n = n->right;
     }
     insert_case5(n);    //转到下述情形5处理。

情形5: 父节点P是红色，而叔父节点U 是黑色或NIL，
要插入的节点N 是其父节点的左孩子，而父节点P又是其父G的左孩子。
[对应我第二篇文章中，情况3：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子。]
void insert_case5(node n) {
     n->parent->color = BLACK;
     grandparent(n)->color = RED;
     if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->left) {
         rotate_right(grandparent(n));
     } else {
         /* 反情况，N 是其父节点的右孩子，而父节点P又是其父G的右孩子 */
         rotate_left(grandparent(n));
     }
}

三、红黑树删除的几种情况
上文我们约定，兄弟节点设为S，我们使用下述函数找到兄弟节点:
struct node * sibling(struct node *n) //找兄弟节点
{
        if (n == n->parent->left)
                return n->parent->right;
        else
                return n->parent->left;
}

情况1: N 是新的根。
void
delete_case1(struct node *n)
{
if (n->parent != NULL)
delete_case2(n);
}

情形2：兄弟节点S是红色
[对应我第二篇文章中，情况1：x的兄弟w是红色的。]
void delete_case2(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);

        if (s->color == RED) {
                n->parent->color = RED;
                s->color = BLACK;
                if (n == n->parent->left)
                        rotate_left(n->parent); //左旋
                else
                        rotate_right(n->parent);
        }
        delete_case3(n);
}

情况 3: 兄弟节点S是黑色的，且S的俩个儿子都是黑色的。但N的父节点P，是黑色。
[对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且兄弟w的俩个儿子都是黑色的。
(这里，父节点P为黑)]
void delete_case3(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);

        if ((n->parent->color == BLACK) &&
            (s->color == BLACK) &&
            (s->left->color == BLACK) &&
            (s->right->color == BLACK)) {
                s->color = RED;
                delete_case1(n->parent);
        } else
                delete_case4(n);
}

情况4: 兄弟节点S 是黑色的、S 的儿子也都是黑色的，但是 N 的父亲P，是红色。
[还是对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。
(这里，父节点P为红)]
void delete_case4(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);

        if ((n->parent->color == RED) &&
            (s->color == BLACK) &&
            (s->left->color == BLACK) &&
            (s->right->color == BLACK)) {
                s->color = RED;
                n->parent->color = BLACK;
        } else
                delete_case5(n);
}

情况5: 兄弟S为黑色，S 的左儿子是红色，S 的右儿子是黑色，而N是它父亲的左儿子。
//此种情况，最后转化到下面的情况6。
[对应我第二篇文章中，情况3：x的兄弟w是黑色的，w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。]
void delete_case5(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);

        if (s->color == BLACK)
                if ((n == n->parent->left) &&
                    (s->right->color == BLACK) &&
                    (s->left->color == RED)) {
                        // this last test is trivial too due to cases 2-4.
                        s->color = RED;
                        s->left->color = BLACK;
                        rotate_right(s);
                } else if ((n == n->parent->right) &&
                           (s->left->color == BLACK) &&
                           (s->right->color == RED)) {
                       // this last test is trivial too due to cases 2-4.
                        s->color = RED;
                        s->right->color = BLACK;
                        rotate_left(s);
                }
        }
        delete_case6(n); //转到情况6。

情况6: 兄弟节点S是黑色，S的右儿子是红色，而 N 是它父亲的左儿子。
[对应我第二篇文章中，情况4:x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子时红色的。]
void delete_case6(struct node *n)
{
        struct node *s = sibling(n);

        s->color = n->parent->color;
        n->parent->color = BLACK;

        if (n == n->parent->left) {
                s->right->color = BLACK;
                rotate_left(n->parent);
        } else {
                s->left->color = BLACK;
                rotate_right(n->parent);
        }
}

//呵呵，画这12张图，直接从中午画到了晚上。希望，此文能让你明白。

四、红黑树的插入、删除情况时间复杂度的分析
因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树，
因此红黑树上的只读操作与普通二叉查找树上的只读操作相同。
然而，在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。

恢复红黑树的属性需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和
不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。
虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次。

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