【网络流24题】太空飞行计划

题目

链接：LOJ P6001
洛谷P2762

解法

考虑网络流建模。设置点111 ~ N" role="presentation" style="position: relative;">NNN表示每种仪器，点N+1N+1N+1 ~ N+MN+MN+M表示每个项目，超源SSS，超汇T" role="presentation" style="position: relative;">TTT。从SSS向所有项目各连一条边(S,j,capacity=pj)" role="presentation" style="position: relative;">(S,j,capacity=pj)(S,j,capacity=pj)(S,j,capacity=p_j)，从所有仪器各向TTT连一条边(k,T,capacity=ck)" role="presentation" style="position: relative;">(k,T,capacity=ck)(k,T,capacity=ck)(k,T,capacity=c_k)，从每个实验向其所需的仪器连边(j,k,capacity=+∞)(j,k,capacity=+∞)(j,k,capacity=+\infty)，答案即为所有实验的总收益减去最大流。

于是，正确性？

首先考虑所有被选择的点，假设这些点所代表的每个项目净收益都为正，项目jjj所需的仪器集合为K" role="presentation" style="position: relative;">KK\mathbb K，那么由于每个项目的净收益为正，有∀j,pj⩾∑x∈K∀j,pj⩾∑x∈K\forall j,p_j\geqslant\sum x\in\mathbb K，故该项目在模型中对最大流的贡献为∑x∈K∑x∈K\sum x\in \mathbb K。

对于未被选择的项目，它们的净收益一定为负，那么其对最大流的贡献为pjpjp_j。

综上，在总净收益最大的情况下若一个项目被选择，其对最大流的贡献等于其净收益；若其未被选择，其对最大流的贡献等于其收益(pj)(pj)(p_j)。因此答案为所有实验的总收益减去最大流。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<queue>using namespace std;struct edge{int v,c;edge():v(0),c(0){}edge(int y,int d):v(y),c(d){}
};const int INF=1000000000;
vector<int> point[103];
vector<edge> vec;
char ch;
int N,M,K[51],W[51],S,T,x,ans,d[103],p[103];inline void addedge(int x,int y,int c,int i=0){point[x].push_back(vec.size());vec.push_back(edge(y,c));point[y].push_back(vec.size());vec.push_back(edge(x,0));}bool bfs(){queue<int> q;q.push(S);memset(d,0,sizeof(d));d[S]=1;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for(int i:point[u]){edge e=vec[i];int v=e.v,c=e.c;if(!d[v]&&c)q.push(v),d[v]=d[u]+1;}}return d[T];
}int dfs(int u,int f){if(u==T)return f;for(int &i=p[u];i<point[u].size();++i){edge e=vec[point[u][i]];int v=e.v,c=e.c,fl;if(d[v]==d[u]+1&&c&&(fl=dfs(v,min(f,c)))){vec[point[u][i]].c-=fl;vec[point[u][i]^1].c+=fl;return fl;}}return 0;
}int main(){scanf("%d%d",&M,&N);T=(S=N+M+1)+1;for(int i=1;i<=M;++i){scanf("%d",K+i),ans+=K[i],addedge(S,i+N,K[i]);ch=0;while(ch!='\r'&&ch!='\n')scanf("%d",&x),addedge(i+N,x,INF),ch=getchar();}for(int i=1;i<=N;++i)scanf("%d",W+i),addedge(i,T,W[i]);while(bfs()){int d;memset(p,0,sizeof(p));while(d=dfs(S,INF))ans-=d;}for(int i=1;i<=M;++i)if(d[i+N])printf("%d ",i);puts("");for(int i=1;i<=N;++i)if(d[i])printf("%d ",i);puts("");printf("%d",ans);
}

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