MA模型的自协方差函数证明

∵E(εt)=0∴cov(Xt,Xt−k)=cov(εt−θ1εt−1−⋯−θqεt−q,εt−k−θ1εt−k−1−⋯−θqεt−k−q)=cov(εt,εt−k)−∑j=1qθ0θjcov(εt,εt−k−j)−∑i=1qθiθ0cov(εt−i,εt−k)+∑i=1q∑j=1qθiθjcov(εt−i,εt−k−j)=E(εt,εt−k)−∑j=1qθ0θjE(εt,εt−k−j)−∑i=1qθiθ0E(εt−i,εt−k)+∑i=1q∑j=1qθiθjE(εt−i,εt−k−j)\because E(\varepsilon_t)=0\\ \therefore\ cov(X_t,X_{t-k})\\ =cov(\varepsilon_t-\theta_1\varepsilon_{t-1}-\dots-\theta_q\varepsilon_{t-q}, \varepsilon_{t-k}-\theta_1\varepsilon_{t-k-1}-\dots-\theta_q\varepsilon_{t-k-q}) \\=cov(\varepsilon_t,\varepsilon_{t-k})-\displaystyle\sum_{j=1}^q\theta_0\theta_jcov(\varepsilon_{t},\varepsilon_{t-k-j})-\displaystyle\sum_{i=1}^q\theta_i\theta_0cov(\varepsilon_{t-i},\varepsilon_{t-k})+\displaystyle\sum_{i=1}^q\displaystyle\sum_{j=1}^q\theta_i\theta_jcov(\varepsilon_{t-i},\varepsilon_{t-k-j}) \\=E(\varepsilon_t,\varepsilon_{t-k})-\displaystyle\sum_{j=1}^q\theta_0\theta_jE(\varepsilon_{t},\varepsilon_{t-k-j})-\displaystyle\sum_{i=1}^q\theta_i\theta_0E(\varepsilon_{t-i},\varepsilon_{t-k})+\displaystyle\sum_{i=1}^q\displaystyle\sum_{j=1}^q\theta_i\theta_jE(\varepsilon_{t-i},\varepsilon_{t-k-j})∵E(εt)=0∴ cov(Xt,Xt−k)=cov(εt−θ1εt−1−⋯−θqεt−q,εt−k−θ1εt−k−1−⋯−θqεt−k−q)=cov(εt,εt−k)−j=1∑qθ0θjcov(εt,εt−k−j)−i=1∑qθiθ0cov(εt−i,εt−k)+i=1∑qj=1∑qθiθjcov(εt−i,εt−k−j)=E(εt,εt−k)−j=1∑qθ0θjE(εt,εt−k−j)−i=1∑qθiθ0E(εt−i,εt−k)+i=1∑qj=1∑qθiθjE(εt−i,εt−k−j)

情况一：k=0时k=0时k=0时
cov(Xt,Xt−k)=var(Xt)=(1+θ12+θ22+⋯+θq2)σε2cov(X_t,X_{t-k})= var(X_t)=(1+\theta_1^2+\theta_2^2+\dots+\theta_q^2)\sigma _\varepsilon^2 cov(Xt,Xt−k)=var(Xt)=(1+θ12+θ22+⋯+θq2)σε2

情况二：1≤k≤q1\le k\le q1≤k≤q时，当且仅当εt−i=εt−k−i\varepsilon_{t-i}=\varepsilon_{t-k-i}εt−i=εt−k−i时有意义，则有
t−i=t−k−ji=k+jt-i=t-k-j\\ i=k+j t−i=t−k−ji=k+j
故
E(εt−i,εt−k−j)={σε2, i=k+j0, i≠k+jE(\varepsilon_{t-i},\varepsilon_{t-k-j}) = \begin{cases} \sigma_\varepsilon^2 &\text{, } i=k+j \\ 0 &\text{, } i\not=k+j \end{cases} E(εt−i,εt−k−j)={σε20, i=k+j, i=k+j
那么有
cov(Xt,Xt−k)={θk+jθjσε2, i=k+j0, i≠k+jcov(X_t,X_{t-k}) = \begin{cases} \theta_{k+j}\theta_j\sigma_\varepsilon^2 &\text{, } i=k+j \\ 0 &\text{, } i\not=k+j \end{cases} cov(Xt,Xt−k)={θk+jθjσε20, i=k+j, i=k+j
特别注意的是，这里假设前提是θ0=1\theta_0=1θ0=1
故当j=0⟹k+j=k时故当j=0\implies k+j=k时故当j=0⟹k+j=k时
θk+jθj=θk\theta_{k+j}\theta_j=\theta_kθk+jθj=θk
由于0≤i≤q⟹j≤q−k0\le i\le q\implies j\le q-k0≤i≤q⟹j≤q−k
故就有cov(Xt,Xt−k)=(−θk+∑j=0q−kθjθk+j)σε2cov(X_t,X_{t-k})=(-\theta_k+\displaystyle\sum_{j=0}^{q-k}\theta_j\theta_{k+j})\sigma_\varepsilon^2cov(Xt,Xt−k)=(−θk+j=0∑q−kθjθk+j)σε2
情况三：k>qk>qk>q
已知
E(εt−i,εt−k−j)={σε2, i=k+j0, i≠k+jE(\varepsilon_{t-i},\varepsilon_{t-k-j}) = \begin{cases} \sigma_\varepsilon^2 &\text{, } i=k+j \\ 0 &\text{, } i\not=k+j \end{cases} E(εt−i,εt−k−j)={σε20, i=k+j, i=k+j
∵0≤i≤q⟹0≤k+j≤q,与k>q相悖\because 0\le i\le q\implies 0 \le k+j\le q,与k>q相悖∵0≤i≤q⟹0≤k+j≤q,与k>q相悖
故不存在E(εt−i,εt−k−j)≠0E(\varepsilon_{t-i},\varepsilon_{t-k-j})\not=0E(εt−i,εt−k−j)=0的情况，即γk=cov(Xt,Xt−k)=0\gamma_k=cov(X_t,X_{t-k})=0γk=cov(Xt,Xt−k)=0

To summarise:

γk{(1+θ12+θ22+⋯+θq2)σε2, k=0(−θk+∑j=0q−kθjθk+j)σε2, 1≤k≤q0, k>q\gamma_k \begin{cases} (1+\theta_1^2+\theta_2^2+\dots+\theta_q^2)\sigma _\varepsilon^2&\text{, } k=0\\ (-\theta_k+\displaystyle\sum_{j=0}^{q-k}\theta_j\theta_{k+j})\sigma_\varepsilon^2 &\text{, } 1\le k\le q\\ 0 &\text{, } k>q \end{cases} γk⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧(1+θ12+θ22+⋯+θq2)σε2(−θk+j=0∑q−kθjθk+j)σε20, k=0, 1≤k≤q, k>q

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