【NOIP题解】NOIP2017 TG D2T3 列队

列队，NOIP2017 TG D2T3。

树状数组经典题。

题目链接：洛谷。

题意：

Sylvia 是一个热爱学习的女孩子。

前段时间，Sylvia 参加了学校的军训。众所周知，军训的时候需要站方阵。

Sylvia 所在的方阵中有$n \times m$名学生，方阵的行数为 $n$，列数为 $m$。

为了便于管理，教官在训练开始时，按照从前到后，从左到右的顺序给方阵中的学生从 $1$ 到 $n \times m$ 编上了号码（参见后面的样例）。即：初始时，第 $i$ 行第 $j$ 列的学生的编号是$(i-1)\times m + j$。

然而在练习方阵的时候，经常会有学生因为各种各样的事情需要离队。在一天中，一共发生了 $q$ 件这样的离队事件。每一次离队事件可以用数对$(x,y) (1 \leq x \leq n, 1 \leq y \leq m)$描述，表示第 $x$ 行第 $y$ 列的学生离队。

在有学生离队后，队伍中出现了一个空位。为了队伍的整齐，教官会依次下达这样的两条指令：

向左看齐。这时第一列保持不动，所有学生向左填补空缺。不难发现在这条指令之后，空位在第 $x$ 行第 $m$ 列。

向前看齐。这时第一行保持不动，所有学生向前填补空缺。不难发现在这条指令之后，空位在第 $n$ 行第 $m$ 列。
教官规定不能有两个或更多学生同时离队。即在前一个离队的学生归队之后，下一个学生才能离队。因此在每一个离队的学生要归队时，队伍中有且仅有第 $n$ 行第 $m$ 列一个空位，这时这个学生会自然地填补到这个位置。

因为站方阵真的很无聊，所以 Sylvia 想要计算每一次离队事件中，离队的同学的编号是多少。

注意：每一个同学的编号不会随着离队事件的发生而改变，在发生离队事件后方阵中同学的编号可能是乱序的。

题解：

注意到这个方阵被分成了最右侧一列，左侧$m-1$列的每一行，共$n$行这$n+1$个序列。

操作的本质是：每次从其中一个序列中删除一个值，然后在一个序列中加入一个值。

考虑前50%的部分分：

q是非常小的，我们发现可以把与$x_i$无关的行排除掉，因为这些行根本不会有操作。

然后维护每行和最后一列即可。

那么前80%呢？

前50%见上文。下面是后30%

注意到所有的操作只在第一行。

我们考虑把第一行和最后一列并在一起，形成新的序列。

这个序列要支持：删除第$k$个元素，在末尾加入元素。

可以使用平衡树实现，但是NOIP不考啊？

考虑用树状数组做？怎么做？树状数组维护这一位有没有元素，$0$就是没有，$1$就是有。

第$k$位就是前缀和等于$k$。

删除就是$1\to 0$。

添加就是$0\to 1$，特别的，在末尾添加只要记一个末尾的指针就好了。

怎么找第k位？

树状数组上二分，$O(log n)$。

那么100%的数据呢？

发现这个矩阵开始的每一位都确定。

如果我们不维护每一行原来的元素，而是维护新加进来的元素呢？

新加进来的元素总数不会超过$q$。

而原来的元素可以直接得到。对于每一行，开一个树状数组来维护答案即可。

这个做法要求离线做，先对所有询问按照$x_i$排序，然后按照60%~80%的方法维护。

最后把每行的树状数组（合起来不超过$q$个元素），和最后一列的放在一起维护就好了。

时间复杂度$O(qlog(q)+qlog(m+n+q))$。

我的代码使用了指针来指向多棵树状数组，是洛谷跑的最快的！1488ms！

代码如下：

 1 #pragma GCC optimize("O2")
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
 6 #define dF(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
 7 #define F2(i,a,b) for(int i=a;i<b;++i)
 8 #define getchar() (SS==TT&&(TT=(SS=BB)+fread(BB,1,1<<15,stdin),TT==SS)?EOF:*SS++)
 9 #define RR register
10 char BB[1<<15],*SS=BB,*TT=BB;
11 inline int read(){
12     RR int x;RR bool f;RR char c;
13     for (f=0; (c=getchar())<'0'||c>'9'; f=c=='-');
14     for (x=c-'0'; (c=getchar())>='0'&&c<='9'; x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0');
15     return f?-x:x;
16 }
17 using namespace std;
18 int q,I[300010];
19 long long n,m,a[300010],b[300010];
20 inline bool cmp(int p1,int p2){return a[p1]==a[p2]?p1<p2:a[p1]<a[p2];}
21 int h[300010],len[300010],len2[300010],bit[900010];
22 long long arr[900010];
23 long long Ans[300010];
24 inline void Ins(int*array,int siz,int i,int x){for(;i<=siz;array[i]+=x,i+=i&-i);}
25 inline int binary(int*array,int siz,int x){
26     int l=1,r,mid,sum,ans;
27     while(l<=siz&&array[l]<x) l<<=1, ans=l;
28     r=l; sum=array[l>>=1];
29     while(l<r-1){
30         mid=l+r>>1;
31         if(mid>siz||array[mid]+sum>=x) r=mid, ans=mid;
32         else l=mid, sum+=array[l];
33     } ans=r;
34     return ans;
35 }
36 int stk[300001],top;
37 int main(){
38     n=read(), m=read(), q=read();
39     F(i,1,q) a[i]=read(), b[i]=read(), I[i]=i;
40     sort(I+1,I+q+1,cmp);
41     F(i,1,m-1) Ins(bit,m-1,i,1);
42     F(i,1,n) len[i]=m-1;
43     F(i,1,q){
44         if(a[I[i-1]]!=a[I[i]])
45             while(top) Ins(bit,m-1,stk[top--],1);
46         if(b[I[i]]>len[a[I[i]]]) continue;
47         int pos=binary(bit,m-1,b[I[i]]);
48         Ans[I[i]]=(a[I[i]]-1)*m+pos;
49         Ins(bit,m-1,pos,-1);
50         stk[++top]=pos;
51         --len[a[I[i]]];
52     }
53     int iter=0;
54     F(i,1,n){
55         while(iter<=q&&a[I[iter]]<i) ++iter;
56         h[i]=iter-1;
57     }
58     h[n+1]=q;
59     memset(bit,0,sizeof bit);
60     F(i,1,n) len[i]=0, len2[i]=m-1; len[n+1]=n;
61     F(i,1,n) Ins(bit+h[n+1],n+q,i,1), arr[q+i]=i*m;
62     F(i,1,q){
63         if(Ans[i]){
64             int pos=binary(bit+h[n+1],n+q,a[i]);
65             Ins(bit+h[n+1],n+q,pos,-1);
66             Ins(bit+h[n+1],n+q,++len[n+1],1);
67             arr[h[n+1]+len[n+1]]=Ans[i];
68             Ins(bit+h[a[i]],h[a[i]+1]-h[a[i]],++len[a[i]],1);
69             arr[h[a[i]]+len[a[i]]]=arr[h[n+1]+pos];
70             --len2[a[i]];
71         }
72         else{
73             int pos=binary(bit+h[n+1],n+q,a[i]);
74             Ins(bit+h[n+1],n+q,pos,-1);
75             Ins(bit+h[n+1],n+q,++len[n+1],1);
76             if(b[i]!=m){
77                 int pos2=binary(bit+h[a[i]],h[a[i]+1]-h[a[i]],b[i]-len2[a[i]]);
78                 Ins(bit+h[a[i]],h[a[i]+1]-h[a[i]],pos2,-1);
79                 Ans[i]=arr[h[a[i]]+pos2];
80                 Ins(bit+h[a[i]],h[a[i]+1]-h[a[i]],++len[a[i]],1);
81                 arr[h[a[i]]+len[a[i]]]=arr[h[n+1]+pos];
82             } else Ans[i]=arr[h[n+1]+pos];
83             arr[h[n+1]+len[n+1]]=Ans[i];
84         }
85     }
86     F(i,1,q) printf("%lld\n",Ans[i]);
87     return 0;
88 }

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