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Solution

If we add the edge a−ba-ba−b where if a=(x,y)a=(x,y)a=(x,y) then bbb is the endpoint in the direction
(2,1)(1,2)(−2,1)(−1,2)(2,−1)(1,−2)(−2,−1)(−1,−2)(2,1) (1,2)(-2,1) (-1,2)(2,-1) (1,-2)(-2,-1) (-1,-2)(2,1)(1,2)(−2,1)(−1,2)(2,−1)(1,−2)(−2,−1)(−1,−2), then we would get a undirected-graph GGG; our goal is to choose as the maximum cells such that there is no edge (not path) between any two cells;
We found that the set of cells is a Maximum-Independent-Set, so we consider that whether GGG is a Bipartite; if we dividing all cells in this way:

0 1 0 1 0
1 0 1 0
0 1 0
1 0
0if( (x + y) & 1){ belongs to one-set}
else{ belongs to anothe-set}

GGG would be a Bipartite;

So, the answer is the Maximum-Independent-Set in a Bipartite;

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