引言

假设有如下问题：已知一个数分别除以8,7,3得到的余数分别是5,0,0，试问这个数是多少？如果求解这一问题，实际上就是对在（8|7|3）剩余数系统上表示的数求解对应的标准二进制形式。这可以视为是RNS表示灵感的起源。

何为剩余数（RNS）

假定有一个数x，给定一系列严格递减的相对质数mk−1,mk−2,…,m1,m0m_{k-1},m_{k-2},…,m_{1},m_{0}mk−1,mk−2,…,m1,m0，x对这些素数取模得到的余数分别为xk−1,xk−2,…,x1,x0x_{k-1},x_{k-2},…,x_{1},x_{0}xk−1,xk−2,…,x1,x0，那么我们可将x表示为:
x=(xk−1,xk−2,…,x1,x0)RNS(mk−1∣mk−2∣…∣m1∣m0)x=(x_{k-1},x_{k-2},…,x_{1},x_{0})_{RNS(m_{k-1}|m_{k-2}|…|m_{1}|m_{0})}x=(xk−1,xk−2,…,x1,x0)RNS(mk−1∣mk−2∣…∣m1∣m0)。
我们将RNS(mk−1∣mk−2∣…∣m1∣m0)RNS(m_{k-1}|m_{k-2}|…|m_{1}|m_{0})RNS(mk−1∣mk−2∣…∣m1∣m0)称为k模的RNS，k为x的位数。

新概念：动态范围
将RNS(mk−1∣mk−2∣…∣m1∣m0)RNS(m_{k-1}|m_{k-2}|…|m_{1}|m_{0})RNS(mk−1∣mk−2∣…∣m1∣m0)中的mk−1,mk−2,…,m1,m0m_{k-1},m_{k-2},…,m_{1},m_{0}mk−1,mk−2,…,m1,m0全部相乘，其乘积M称为对应RNS系统的动态范围，具体意义是RNS系统能表示的数的范围。

举一个具体的例子更好理解：
在RNS(8|7|5|3)4模剩余数系统中，十进制的21可表示为(5|0|1|0)，该系统的动态范围为875*3=840,即一共可以表示840个数，对应840种不同取值。
个人理解，动态范围就类似几位二进制能表示的十进制数目。

新概念：RNS的补码
对于RNS表示的数x，其补码为（M-x）的RNS表示，例如：
规定默认剩余数系统为RNS(8|7|5|3)。对于十进制数21，对应RNS形式为(5|0|1|0)，其补码为（840-21）=819对应的RNS形式为(3|0|4|0)。

事实上，还有一种计算补码的方式，即计算每个xix_{i}xi相对对应的mim_{i}mi的补码（实际上就是mi−xim_{i}-x_{i}mi−xi）。但要注意，0对应的补码仍为0。

仍然以上文的21为例，其RNS形式(5|0|1|0)，而剩余数系统为RNS(8|7|5|3)，因此对应补码为(8-5|0|5-1|0)=(3|0|4|0)。

引入补码的意义在于可以让RNS系统表示的M个可用值在任何一个连续范围（M）里。否则同一个RNS表示不能对应唯一的一个数。例如：
在剩余数系统RNS(8|7|5|3)下，如果RNS表示为（1|1|1|1），那么对应的十进制数可能为1，也可能是841，甚至更多……

新概念：RNS的位权
利用位权可根据RNS表示形式获得对应的十进制数，类似二进制中的位权2n−12^{n-1}2n−1。计算方式是将RNS表示与对应的位权相乘求和，最终对动态范围取模。

例如：对于RNS(8|7|5|3)，其位权分别为105,120,336,280。
RNS表示（1|1|1|1）对应十进制数(105+120+336+280) mod 840 = 1.

新概念：RNS的编码利用率
考虑了位权之后，下一个问题就是RNS剩余数系统在计算机中需要多少bit存储，以及对这些位的利用率。计算方法也很简单，就是计算每一个mim_{i}mi对应的最大余数占据多少位，然后求和就可以了。编码的利用率就是RNS系统的动态范围除以需要bit数可表示的最大整数。

例如：对于RNS(8|7|5|3)，最大余数分别为7,6,4,2，对应二进制位数为3,3,3,2，所以共需要3+3+3+2=11-bit。11-bit最多可表示2048个值，而该RNS系统最多可表示840个值，因此编码利用率为840/2048约等于41%。

RNS的算术

加减乘：加法和乘法可通过对应xix_{i}xi做加减并相对mim_{i}mi取模进行，减法可以视作补码的加法。从RNS的表示来看，它具备天然的并行计算优势（因为几个模数的取模是互相独立的），不存在级间的进位传播问题；而且由于余数取值范围较小，所以运算操作相对快速简单，甚至可以通过直接的查表法实现。

例如：对于剩余数系统RNS(8|7|5|3)
（5|5|0|2）-> x = (5*105+5*120+2*280) mod 840 = 5
(7|6|4|2) -> y = (7*105+6*120+4*336+2*280) mod 840 = 839
若规定剩余数系统表示的范围为-420~+419, 则y实际上是-1的补码，则
x+y=(5+7|5+6|0+4|2+2) = (4|4|4|1) = (4105+4120+4336+280) = 4
x-y = (5-7|5-6|0-4|2-2) = (-2|-1|-4|0) = (6|6|1|0) = 6
xy = (57|56|0|4) = （3|2|0|1）= -5

其实从上面的例子中也可以看到RNS的缺点，它不像我们平时的十进制数一样，往往难以判断其符号或者大小。如果不规定表示范围，可能y仍然被认为是个大正数。因此在使用RNS时，必须确定结果保留在某个确定范围内。因此它在信号处理等领域有广泛应用。

选取RNS的模

从前面的例子中可以看到，模数选择会影响整个剩余数系统可表示数的数目以及计算的效率，因此合理选择RNS的模是一个重要问题。

根据上面的例子及定义，模数选择应该符合以下要求：
1.模数彼此之间互素；
2.选取的模数应当逐渐递减（满足定义）；
3.在满足前两条的基础上，除最大模数外的其他模数应该尽可能地大，其个数要尽可能少，以保证运算的效率；

例如，对于0~100 000 这个范围，我们可选取以下几种方案：
a. RNS(17|13|11|7|5|3|2)
动态范围M=510510
7模剩余数系统
共需要5+4+4+3+2+1=19-bit存储

b. RNS(17|13|11|7|3|2)
动态范围M=102102
6模剩余数系统
共需要5+4+4+4+2+1=19-bit存储

c. RNS(26|21|17|11)
动态范围M=102102
4模剩余数系统
共需要5+5+5+4=19-bit存储

以上几种方案，a明显编码利用率较低，且模数数目多，如果用硬件实现其相关运算需要多个模运算单元；同理，b和c相比虽然范围相同，但c的模数更少，因此编码利用率更高，目前来看c是最优的。但如果给出这样一个RNS系统：
d. RNS（15|13|11|8|7）
M = 120120
5模剩余数系统
共需要4+4+4+3+3=18-bit存储

可见，d方案在不改变动态范围的前提下，减少了1-bit的存储空间，虽然增加了一个模数。实际上，a~d方案对应的是不同的模选择策略。a使用的是最简单的顺序选择，即从2开始，逐步加入质数，直到动态范围满足要表示的数。而b是a精简的结果，因为a动态范围是目标的5倍左右，因此去除了模数集合中的5。根据原则3，要让模数尽可能得大，同时个数要少，我们将b中的模数两两相乘，获得了c。但在实际操作中发现，在模数集中加入较小质数的幂（两个素数的幂互素），然后按照a的方法插入质数，b的方法约减结果，c的方法两两合并，可以取得像d这样的更好结果。

参考文献：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/335956750
https://zhuanlan.zhihu.com/p/258679655

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