RNS（Residue Number System）介绍

目前RNS并没有一个正式的中文名，若有，请各位大佬指正。

简介

简而言之，剩余数系统就是将一个大一点的数A∈ZQA\in \mathcal{Z}_QA∈ZQ，用好几个小一点的数来表示:A←{a0,a1,...,ak}∈Zqik,A\gets \{a_0,a_1,...,a_k \}\in \mathcal{Z}_{q_i}^k,A←{a0,a1,...,ak}∈Zqik,
其中a0≡Amodq0,a1≡Amodq1,⋯,ak≡Amodqka_0 \equiv A\bmod q_0,a_1\equiv A\bmod q_1,\cdots,a_k \equiv A \bmod q_ka0≡Amodq0,a1≡Amodq1,⋯,ak≡Amodqk。Q=q0⋅q1⋯qkQ=q_0\cdot q_1 \cdots q_kQ=q0⋅q1⋯qk。要求i≠j,gcd(qi,qj)=1i\ne j,gcd(q_i,q_j)=1i=j,gcd(qi,qj)=1，即qiq_iqi之间两两互素。

应用

剩余数系统目前我所知道的应用是用来进行大整数表示以及运算，比如目前的计算机系统中，int类型的数据结构是32/64比特的，那么假如我有一个235比特的数字A∈ZQ,log⁡2(Q)≈235,e.g.log⁡2(Q)<252A\in \mathcal{Z}_Q,\log_2(Q)\approx 235,e.g. \ \log_2(Q)<252A∈ZQ,log2(Q)≈235,e.g. log2(Q)<252，我就可以用4个63比特的int类型数据来表示这个大整数a0,a1,a2,a3a_0,a_1,a_2,a_3a0,a1,a2,a3。ai=Amodqi∈Zqilog⁡2(qi)=63a_i= A\bmod q_i \in \mathcal{Z}_{q_i} \log_2(q_i)=63ai=Amodqi∈Zqilog2(qi)=63。
假设我要做两个252位以内的大整数的加法或乘法，比如A∈ZQ,B∈ZQA\in \mathcal{Z}_Q,B\in \mathcal{Z}_QA∈ZQ,B∈ZQ，C=A+BC=A+BC=A+B就可以表示为ci=ai+bic_i=a_i+b_ici=ai+bi，C=A×BC=A\times BC=A×B也就可以表示为ci=ai×bic_i=a_i\times b_ici=ai×bi，而如果采用中国剩余定理对cic_ici进行恢复的话，就可以得到正确的结果CCC。就我所知，算上拆分和CRT恢复的时间，也比直接在大整数运算上快。所以可以用RNS在计算机上来加速大整数的运算。

举例

假如有一个数157，而我们的计算机居然只支持表示5比特的数（假如），也就是他uint类型的UINT_MAX为25−1=312^5-1=3125−1=31。那我们找到了这样两个互素的数17,23，那就可以将157表示为{4,19}\{4,19\}{4,19}，其中4=157mod17,19=157mod234=157 \bmod 17, 19 = 157 \bmod 234=157mod17,19=157mod23。
通过中国剩余定理，我们可以来恢复一下原数，已知：
{4=xmod1719=xmod23\left\{ \begin{aligned} 4 = x\bmod 17\\ 19 = x\bmod 23 \end{aligned} \right.{4=xmod1719=xmod23
那么可以求
x=4∗23∗3+19∗17∗19=6413≡157mod(17∗23=391)x = 4*23*3+19*17*19=6413\equiv 157 \bmod(17*23=391)x=4∗23∗3+19∗17∗19=6413≡157mod(17∗23=391)
其中19是17模23的逆元，3是23模17的逆元。

那假如我们要计算157+35=192mod391157+35=192 \bmod 391157+35=192mod391，以及21=157∗35mod39121=157*35 \bmod 39121=157∗35mod391
那我们将35也进行RNS表达为{1,12}\{1,12\}{1,12}，
5=1+4mod17,8=19+12mod234=1×4mod17,21=19×12mod235=1+4 \bmod 17, 8=19+12 \bmod 23\\ 4=1\times 4 \bmod 17, 21 = 19\times12 \bmod 23 5=1+4mod17,8=19+12mod234=1×4mod17,21=19×12mod23
我们分别对{5,8}\{5,8\}{5,8}，{4,21}\{4,21\}{4,21}进行CRT恢复，神奇的事情发生啦，恢复的结果正好为192192192和212121。

这里举的例子可能不太恰当，因为157∗35157*35157∗35已经超出了17∗2317*2317∗23了，如果考虑用多个模数来表示，而不是两个，157∗35157*35157∗35就不会超过17∗23∗27∗2917*23*27*2917∗23∗27∗29，那么就可以得到正确的乘积值而不是模掉391391391的值了。

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