【codeforces】【比赛题解】#915 Educational CF Round 36

虽然最近打了很多场CF，也涨了很多分，但是好久没写CF的题解了。

前几次刚刚紫名的CF，太伤感情了，一下子就掉下来了，不懂你们Div.1。

珂学的那场我只做了第一题……悲伤。

这次的Educational Round打的还可以，虽然吧没有涨分（因为我是紫色的啊）。

做了前4题，后面3题也比较简单，陆续也做完了。

所以心情好，来写一篇题解！

【A】花园

题意：

长度为\(k\)的线段，用若干个长度为\(a_i\)的线段，正好覆盖。（\(a_i|k\)）

给定\(n\)个\(a_i\)，求出最小的\(k/a_i\)，前提是\(a_i|k\)。

题解：

大模拟。

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<vector>
 7 #include<queue>
 8 #include<cmath>
 9 #include<set>
10 #include<map>
11 #define ll long long
12 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
13 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
14 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
15 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i)
16 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
17 using namespace std;
18 const int INF=0x3f3f3f3f;
19 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;}
20 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;}
21 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;}
22 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;}
23 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;}
24 int n,k,x;
25 int ans=100000000;
26 int main(){
27     scanf("%d%d",&n,&k);
28     while(n--) {scanf("%d",&x); if(k%x==0) ans=Min(ans,k/x);}
29     printf("%d",ans);
30     return 0;
31 }

【B】浏览器

题意：

看样例解释猜题意。

对于浏览器顶部的标签，你有这样的操作：关闭这个标签左/右侧的所有标签，把鼠标移到左/右一个标签。

给定标签数目\(n\)，鼠标现在所在的标签\(p\)，问你留下标签区间\([l,r]\)的最少操作次数。

题解：

大模拟，注意看左边/右边到底有没有标签。

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<vector>
 7 #include<queue>
 8 #include<cmath>
 9 #include<set>
10 #include<map>
11 #define ll long long
12 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
13 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
14 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
15 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i)
16 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
17 using namespace std;
18 const int INF=0x3f3f3f3f;
19 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;}
20 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;}
21 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;}
22 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;}
23 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;}
24 inline int Abs(int X){return X<0?-X:X;}
25 int n,p,l,r;
26 int main(){
27     scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&l,&r);
28     if(l==1&&r==n){puts("0");return 0;}
29     if(l==1){printf("%d",Abs(p-r)+1);return 0;}
30     if(r==n){printf("%d",Abs(p-l)+1);return 0;}
31     printf("%d",Min(Abs(p-r),Abs(p-l))+r-l+2);
32     return 0;
33 }

【C】数位重排

题意：

给定两个数\(a,b\)，求出把\(a\)在十进制下数位重排后不超过\(b\)的最大数，不能有前导零。

题解：

暴力DFS。

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<vector>
 7 #include<queue>
 8 #include<cmath>
 9 #include<set>
10 #include<map>
11 #define ll long long
12 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
13 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
14 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
15 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i)
16 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
17 using namespace std;
18 const int INF=0x3f3f3f3f;
19 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;}
20 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;}
21 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;}
22 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;}
23 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;}
24 ll a,b,aa,bb;
25 int ca,cb;
26 int oo;
27 int use[10];
28 int bs[20];
29 int cs[20];
30 void print(){
31     oo=1;
32 //    puts("!!");
33     for(int i=ca;i>=1;--i) printf("%d",cs[i]);
34 }
35 void dfs(int stp,bool deng){
36     if(stp==0) {print(); return;}
37     if(oo) return;
38     for(int i=deng?bs[stp]:9;i>=0;--i){
39         if(stp==ca&&i==0) continue;
40         if(!use[i]) continue;
41         use[i]--; cs[stp]=i;
42         dfs(stp-1,deng?(i==bs[stp]):0);
43         use[i]++;
44     }
45 }
46 int main(){
47     scanf("%lld%lld",&a,&b); aa=a,bb=b;
48     while(aa) use[aa%10]++,aa/=10,++ca; while(bb) bs[cb+1]=bb%10,bb/=10,++cb;
49     if(cb>ca){
50         for(int i=9;i>=0;--i) while(use[i]) use[i]--,printf("%d",i);
51         return 0;
52     }
53     dfs(ca,1);
54     return 0;
55 }

【D】几乎无环图

题意：

给定一个有向图，问能否删掉一条边后，这个图变成无环图。\(2\leq n\leq 500,1\leq m\leq min(n(n-1),1000000)\)

题解：

先找到一个环（找不到就YES）。

找环用DFS/拓扑排序，我写的时候脑子不好，用了恶心的DFS。

这个环上最多\(n\)条边，对每条边都试一次，看看还有没有环。

为什么要先找到一个环？

拓扑排序/DFS的复杂度是\(O(n+m)\)的。

那么如果直接对每条边试着删除的话，总复杂度\(O((n+m)^2)\)，就T飞了。

先找到一个环的话，总复杂度\(O(n(n+m))\)，能过。

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<vector>
 7 #include<queue>
 8 #include<cmath>
 9 #include<set>
10 #include<map>
11 #define ll long long
12 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
13 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
14 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
15 #define dF2(i,a,b) for(int i=(a);i>(b);--i)
16 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
17 using namespace std;
18 const int INF=0x3f3f3f3f;
19 inline int Gcd(int X,int Y){return Y?Gcd(Y,X%Y):X;}
20 inline int Max(int X,int Y){return X<Y?Y:X;}
21 inline int Min(int X,int Y){return X<Y?X:Y;}
22 inline ll Max(ll X,ll Y){return X<Y?Y:X;}
23 inline ll Min(ll X,ll Y){return X<Y?X:Y;}
24 int n,m;
25 int h[501],nxt[100001],to[100001],tot;
26 inline void ins(int x,int y){nxt[++tot]=h[x];to[tot]=y;h[x]=tot;}
27 int used[501],ret[501];
28 int o,oo,ooo;
29 int stk[501],top,pos[501];
30 int fk[501][501];
31 bool use[100001];
32 int cnt;
33 void dfs(int u){
34 //    printf(" u: %d\n",u);
35     used[u]=cnt; stk[++top]=u; pos[u]=top;
36     eF(i,u){
37         if(used[to[i]]==0) dfs(to[i]);
38         else{if(used[to[i]]==cnt&&ret[to[i]]==0){/*printf("error : %d -> %d\n",u,to[i]);*/o=pos[to[i]]; return;}}
39         if(o) return;
40     } --top; ret[u]=1;
41 }
42 void dfs2(int u){
43 //    printf(" u: %d\n",u);
44     used[u]=cnt;
45     eF(i,u) if(!use[i]){
46 //        printf("%d -> %d\n",u,to[i]);
47         if(used[to[i]]==0) dfs2(to[i]);
48         else{if(used[to[i]]==cnt&&ret[to[i]]==0){/*printf("error : %d -> %d\n",u,to[i]);*/ooo=1; return;}}
49         if(ooo) return;
50     } ret[u]=1;
51 }
52 int main(){
53     scanf("%d%d",&n,&m);
54     if(m-1>n*(n-1)/2) {puts("NO"); return 0;}
55     if(m<=2) {puts("YES"); return 0;}
56     int x,y;
57     F(i,1,m) scanf("%d%d",&x,&y), ins(x,y), fk[x][y]=tot;
58     F(i,1,n){
59         o=0; top=0; cnt=i;
60         if(!used[i]) dfs(i);
61         if(o) {oo=1; break;}
62     }
63     if(!oo) {puts("YES"); return 0;}
64 //    F(i,o,top)
65 //        printf(",%d",stk[i]); puts("");
66     F(i,o,top){
67 //        printf(" %d\n",stk[i]);
68         memset(used,0,sizeof used);
69         memset(ret,0,sizeof ret);
70         ooo=0;
71         if(i!=top) use[fk[stk[i]][stk[i+1]]]=1;
72         else use[fk[stk[i]][stk[o]]]=1;
73         F(j,1,n){
74             cnt=j;
75             if(used[j]==0) dfs2(j);
76 //            printf("%d %d %d\n",j,used[j],ooo);
77 //            puts("====");
78             if(ooo) break;
79         }
80         if(!ooo) {puts("YES"); return 0;}
81         if(i!=top) use[fk[stk[i]][stk[i+1]]]=0;
82         else use[fk[stk[i]][stk[o]]]=0;
83     } puts("NO");
84     return 0;
85 }

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【E】体育课

题意：

震惊，Alex发现自己虽然是个ACMer，但是他还是得参加体育期末考！【多么的讽刺啊……】

Alex要算出自己到期末的\(n\)天中，还有多少天能上体育课？

可惜学校时常更改一段时间的有/无上课的状态，可能把一整段区间都变成不上课或者上课。

你需要算出每一次更改后的答案。\(1\leq n\leq 10^9,1\leq q\leq 3\cdot 10^5\)。

题解：

离散化，线段树，没什么好说的。

 1 #include<algorithm>
 2 #include<cstdio>
 3 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 4 using namespace std;
 5 int n,q;
 6 int x[300001],y[300001],opt[300001];
 7 int sq[600001],cnt;
 8 int siz[600001];
 9 int sz[2097155],dat[2097155],lzy[2097155];
10 void build(int i,int l,int r){
11     if(l==r) {sz[i]=siz[l]; return;}
12     int mid=l+r>>1;
13     build(i<<1,l,mid), build(i<<1|1,mid+1,r);
14     sz[i]=sz[i<<1]+sz[i<<1|1];
15 }
16 void init(){
17     scanf("%d%d",&n,&q);
18     F(i,1,q) scanf("%d%d%d",x+i,y+i,opt+i), sq[++cnt]=x[i]-1, sq[++cnt]=y[i];
19     sort(sq+1,sq+cnt+1);
20     int Cnt=cnt, lst=-1; cnt=0;
21     F(i,1,Cnt) if(sq[i]!=lst) sq[++cnt]=sq[i], lst=sq[i];
22     F(i,1,cnt-1) siz[i]=sq[i+1]-sq[i];
23     F(i,1,q) x[i]=lower_bound(sq+1,sq+cnt+1,x[i]-1)-sq, y[i]=lower_bound(sq+1,sq+cnt+1,y[i])-sq-1;
24     cnt--;
25 }
26 inline void pushdown(int i){
27     if(lzy[i]==1) dat[i<<1]=sz[i<<1], dat[i<<1|1]=sz[i<<1|1], lzy[i<<1]=lzy[i<<1|1]=1;
28     if(lzy[i]==2) dat[i<<1]=dat[i<<1|1]=0, lzy[i<<1]=lzy[i<<1|1]=2;
29     lzy[i]=0;
30 }
31 void M(int a,int b,int i,int l,int r,int typ){
32     if(a<=l&&r<=b) {dat[i]=(typ==1?(sz[i]):0); lzy[i]=typ; return;}
33     if(r<a||b<l) return;
34     pushdown(i);
35     int mid=l+r>>1;
36     M(a,b,i<<1,l,mid,typ), M(a,b,i<<1|1,mid+1,r,typ);
37     dat[i]=dat[i<<1]+dat[i<<1|1];
38 }
39 int main(){
40     init();
41     build(1,1,cnt);
42     F(i,1,q){
43         if(opt[i]==1) M(x[i],y[i],1,1,cnt,1);
44         else M(x[i],y[i],1,1,cnt,2);
45         printf("%d\n",n-dat[1]);
46     }
47     return 0;
48 }

【F】海棠数组树的失衡度

题意：

给你一棵树，节点有权值，计算\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=i}^nI(i,j)\)。

\(I(i,j)\)表示\(i\)到\(j\)的路径上的最大点权-最小点权。

题解：

考虑最大最小分开计算，最后最大减最小。

以最大点权为例，如何计算？

假设这个点是\(x\)，考虑计算与\(x\)直接或间接联通的点中，到\(x\)的路径中的点权都不比\(x\)大的点。

通过这些点的个数来计算答案。

可以证明，这些点和\(x\)形成的图是一棵树。

我们以\(x\)为根，\(x\)对答案的贡献是\(val_x\cdot[siz_x^2-\sum_{k=x.son}siz_k^2]\)。

那么怎么找到到\(x\)的路径上的点权都不比\(x\)大的点呢？

考虑按照\(val\)为顺序加入点，用并查集维护连通性，就能算答案了。

 1 #include<algorithm>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #define F(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
 5 #define F2(i,a,b) for(int i=(a);i<(b);++i)
 6 #define dF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
 7 #define eF(i,u) for(int i=h[u];i;i=nxt[i])
 8 int n,a[1000001],I[1000001],siz[1000001];
 9 inline bool cmp(int p1,int p2){return a[p1]<a[p2];}
10 int h[1000001],nxt[2000001],to[2000001],tot;
11 inline void ins(int x,int y){nxt[++tot]=h[x];to[tot]=y;h[x]=tot;}
12 bool vis[1000001];
13 int fa[1000001];
14 int ff(int x){return fa[x]?fa[x]=ff(fa[x]):x;}
15 long long ans;
16 int main(){
17     scanf("%d",&n);
18     F(i,1,n) scanf("%d",a+i), I[i]=i;
19     int x,y,u; long long tmp;
20     F2(i,1,n) scanf("%d%d",&x,&y), ins(x,y), ins(y,x);
21     std::sort(I+1,I+n+1,cmp);
22     F(i,1,n){
23         siz[u=I[i]]=1; tmp=0; vis[u]=1;
24         eF(j,u)
25             if(vis[to[j]]) siz[u]+=siz[ff(to[j])], tmp+=1ll*siz[ff(to[j])]*siz[ff(to[j])], fa[ff(to[j])]=u;
26         ans+=a[u]*(1ll*siz[u]*siz[u]-tmp);
27     }
28     memset(fa,0,sizeof fa);
29     dF(i,n,1){
30         siz[u=I[i]]=1; tmp=0; vis[u]=0;
31         eF(j,u)
32             if(!vis[to[j]]) siz[u]+=siz[ff(to[j])], tmp+=1ll*siz[ff(to[j])]*siz[ff(to[j])], fa[ff(to[j])]=u;
33         ans-=a[u]*(1ll*siz[u]*siz[u]-tmp);
34     }
35     printf("%lld",ans>>1);
36     return 0;
37 }

【G】互质数组

题意：

我们说数组\(a\)是互质的，当且仅当\(gcd(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)=1\)。

给定\(k\)，对于每个\(i\;(1\leq i\leq k)\)，求出长度为\(n\)，且其中元素为\(1\)到\(i\)中的正整数的互质数组的个数。

答案对1000000007取模，再通过玄学的方式算出最终答案。

题解：

容斥+数论（莫比乌斯函数）。

考虑容斥，先计算所有的个数，再扣掉元素是\(2\)的倍数的数组的个数，\(3\)的倍数……

\(4\)的倍数不用扣掉，因为\(2\)已经扣掉过了。

但是\(6\)的倍数被\(2\)和\(3\)扣掉了两遍，要加回来。

对于是\(x\)的倍数，容斥系数就是\(\mu(x)\)——\(x\)的莫比乌斯函数。

对于\(i\)的答案，是\(\sum_{j=1}^{i}\mu(j)(\left\lfloor\frac{i}{j}\right\rfloor)^n\)。

对于每个\(i\)，我们使用差分的技巧统计答案。

 1 #include<cstdio>
 2 #define Mod 1000000007
 3 int n,k,Ans;
 4 bool isnprime[2000001]={1,1};
 5 int mobius[2000001]={0,1};
 6 int primes[1000001],pnum;
 7 int ans[2000001];
 8 int pows[2000001];
 9 void Mobius(int num){
10     for(int i=2;i<=num;++i){
11         if(!isnprime[i])
12             primes[++pnum]=i, mobius[i]=-1;
13         for(int j=1;j<=pnum&&i*primes[j]<=num;++j){
14             isnprime[i*primes[j]]=1;
15             if(i%primes[j]==0) break;
16             mobius[i*primes[j]]=-mobius[i];
17         }
18     }
19 }
20 inline int Pow(int base,int exp){
21     int sum=1;
22     while(exp){
23         if(exp&1) sum=(long long)sum*base%Mod;
24         base=(long long)base*base%Mod; exp>>=1;
25     } return sum;
26 }
27 int main(){
28     scanf("%d%d",&n,&k);
29     Mobius(k);
30     pows[0]=0;
31     for(int i=1;i<=k;++i) pows[i]=Pow(i,n);
32     for(int i=1;i<=k;++i){
33         if(!mobius[i]) continue;
34         for(int j=1;j*i<=k;++j){
35             ans[j*i]-=mobius[i]*pows[j-1];
36             ans[j*i]+=mobius[i]*pows[j];
37             ans[j*i]=((ans[j*i]%Mod)+Mod)%Mod;
38         }
39     }
40     for(int i=1;i<=k;++i) ans[i]=(ans[i-1]+ans[i])%Mod, Ans=(Ans+(ans[i]^i))%Mod;
41     printf("%d",Ans);
42     return 0;
43 }

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