2维空间、3维空间的最大分割数及多维空间的最大分割数猜想
前段时间无意中想推导３维空间的最大分割数的公式，即ｎ个平面最多可以把空间分割成多少份。打算采用递推法猜，再用数学归纳法证明的方法求解。
先从1维空间的分割开始，１维空间是点分割线，条件是点不重合。分割数公式很简单：
Sn ＝ n + 1 < Sn 为1维空间的最大分割数，n=1, 2, 3…>
然后是2维空间的分割：１条直线把平面分割成２个部分，２条直线(相交)把平面分割成４个部分，３条直线(两两相交且交点无重复)把平面分割成７个部分，４条直线(两两相交且交点无重复)把平面分割成１１个部分……采用回归分析法，求解得：
Pn ＝ n(n+1)/2 + 1 < Pn 为２维空间的最大分割数，n=1, 2, 3…>
看来３维空间的分割数公式应该是３次多项式。接着照葫芦画瓢，来推３维空间的公式，可惜本人的空间想象力有限，４个平面的情况下就想象不出了。
卡在这里无法下手，于是用google在网上查询，看看有没有其他人研究过这个问题。结果发现德国的几何学家施泰纳(J. Steiner)首先提出并解决过这个问题，这个问题已被归入现代１００个经典数学问题中。可惜没有在网上找出具体的求解步骤，于是接下来的数个月力继续被这个问题折磨中……直到上个月从网上买到山西科学技术出版社的《数学的100个基本问题》一书才解脱。现公布求解过程：
仍然是先从平面推起。平面最大分割数的条件上面列过，就不重复了。现在，记n条直线把平面最大分割成Pn份，为了Pn，先设法获得它的递推公式。假设平面已经被n-1条直线最大分割成Pn-1份，接着又添加第n条直线，获得最大分割数。此时必定增加n-1个交点，而且这条新添加的直线必定穿过原来的n个部分，把这n个部分每一个都一分为二。所以，这第n条直线的添加使得原来部分平面的分数增加了n个，这样就得到了一个递推公式：
Pn ＝ Pn-1 + n
依次令ｎ＝１，２，３，．．．，ｎ，注意到P0＝1，把所得到的ｎ个式子相加即为：
Pn ＝ 1 + ( 1 + 2 + 3 +…+ n ) ＝ n(n+1)/2 + 1
其次考虑空间情况。为了把空间分割成最大的分数，同样需要所给的平面满足类似的条件，即任何两个平面都相交，且没有三个以上的平面交线重合。记如此的n个平面把空间最大分割成Cn份。假设空间已经被n-1个平面最大分割成Cn-1份，接着又添加第n个平面，获得最大分割数。此时，新增加的平面和原先的平面必定产生n-1条交线，而且，任何２条交线都两两相交且交点无重复。把所有的交线投影到一个平面上，因此，新添加的这个平面所添加的n-1条交线把投影所得的平面分割成了Pn-1份。再把投影平面还原，则这Pn-1份平面部分都把它所在的原空间部分相应的分割成了两份。所以，这第n个平面的添加使得原来空间部分的份数增加了Pn-1个，于是就得到了相应的递推公式：
Cn ＝ Cn-1 + Pn-1
依次令ｎ＝１，２，３，．．．，ｎ，注意到C0＝P0＝1，把所得到的ｎ个式子相加即为：
Cn ＝ 1 + ( 1 + P2 +…+ Pn-1 ) ＝ 2 +
根据正整数的方幂求和公式有：
＝n(n-1)/2，
＝n(n-1)(2n-1)/6，
代入上述的Cn-1的求解公式得：
Cn ＝ 2 + n(n-1)(2n-1)/12 + n(n-1)/4 + (n+1) ＝ (n3+5n+6)/6
到这里之前的疑问就算解决了。不过，我的脑子里又冒出了新的问号。正如2维平面的生物只能观测到1维，3维空间的生物只能观测到2维一样，现实生活中的我们所处的空间维数肯定大于３(无论是广义相对论中的４维时空模型还是现代物理中的M理论中的10或11维空间模型)。4维空间甚至更高维数的多维空间如果可以分割，那么其最大分割数肯定可以求导。
上面的推导过程中，有一点很重要，即把n维空间投影到n-1维，然后利用n-1维的分割数公式求和来计算n维空间的最大分割数。我用此法试求出了4维空间的最大分割数(计n个３维空间把４维空间最大分割成Vn份)：
Vn ＝ Vn-1 + Cn-1 ＝ (n4-2n3+11n2+14n+24)/24
不过，由于３维以上的空间不可测，说不定４维空间不能投影到３维空间上，所以无法证明，上面的公式只是猜测。不过，没有大胆猜测，任何科技都无法在原有基础上取得突破，不是吗？
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