无论是做研究还是实际工作，都需要经过长期的积累，才能深刻理解存在的问题、解决方法、瓶颈所在、突破方向等等。

今天和大家聊一下压缩算法相关的知识点！

1.压缩算法的理论基础

任何适用于工程的算法都有它的数学和信息学理论基础。

就如同我们写论文要先做仿真，理论给实践提供了一定的方向和依据。

对于压缩算法来说，我们肯定会问：这是压缩极限了吗？还有提升空间吗？

1.1 信息学之父

聊到这里，不得不提到信息学之父克劳德·艾尔伍德·香农，来简单看下他的履历简介：

克劳德·艾尔伍德·香农（Claude Elwood Shannon ，1916年4月30日—2001年2月24日）是美国数学家、信息论的创始人。

1936年获得密歇根大学学士学位，1940年在麻省理工学院获得硕士和博士学位，1941年进入贝尔实验室工作，1956年他成为麻省理工学院客座教授，并于1958年成为终生教授，1978年成为名誉教授。

香农提出了信息熵的概念，为信息论和数字通信奠定了基础，他也是一位著名的密码破译者。他在贝尔实验室破译团队主要追踪德国飞机和火箭。

相关论文：1938年的硕士论文《继电器与开关电路的符号分析》，1948年的《通讯的数学原理》和1949年的《噪声下的通信》，1949年的另外一篇重要论文《Communication Theory of Secrecy Systems》。

看完这段介绍，我感觉自己被秒成了粉末了，只能默默打开了网抑云，生而为人，我很遗憾。

1.2 信息熵entropy

熵本身是一个热力学范畴的概念，描述了一种混乱程度和无序性。

这是个特别有用的概念，因为自然界的本质就是无序和混乱。

举个不恰当的例子，我们经常看娱乐圈八卦新闻的时候，会说信息量很大，上热搜了等等，那么我们该如何去度量信息量呢？

前面提到的信息学之父香农就解决了信息的度量问题，让一种无序不确定的状态有了数学语言的描述。

在1948年的论文《A Mathematical Theory of Communication》中作者将Entropy与Uncertainty等价使用的。

文中提出了信息熵是信息的不确定性（Uncertainty）的度量，不确定性越大，信息熵越大。

论文地址：http://people.math.harvard.edu/~ctm/home/text/others/shannon/entropy/entropy.pdf

在论文的第6章给出信息熵的几个属性以及信息熵和不确定性之间的联系：

简单翻译一下：

• 信息熵是随着概率连续变化的；

• 如果构成事件的各个因素的概率相等，那么信息熵随构成因素总数n的增加而增加，即选择越多，不确定性越大。

• 当一个选择可以分解为两个连续选择时，分解前后的熵值应该相等，不确定性相同。

我们假设一个事件有多种可能的选择，每个选择的概率分别记为p1,p2....pn，文章进一步给出了概率和信息熵的公式：

其中k为一个正常量。

经过前面的一些分析，我们基本上快懵圈了，太难了。

所以，我们暂且记住一个结论：信息是可度量的，并且和概率分布有直接联系。

2. 数据压缩的本质

既然有了理论的支持，那么我们来想一想 如何进行数据压缩呢？

数据压缩可以分为：无损压缩和有损压缩。

• 无损压缩 适用于必须完整还原原始信息的场合，例如文本、可执行文件、源代码等。

• 有损压缩，压缩比很高但无法完整还原原始信息，主要应用于视频、音频等数据的压缩。

2.1 数据压缩的定义

压缩的前提是冗余的存在，消除冗余就是压缩，用更少的信息来完整表达信息，来看下百科的定义：

数据压缩是指在不丢失有用信息的前提下，缩减数据量以减少存储空间，提高其传输、存储和处理效率，

需要按照一定的算法对数据进行重新组织，减少数据的冗余和存储的空间的一种技术方法。

举几个简单的例子：

• "北京交通大学的交通信息工程及控制专业不错"  和 "北交的交控专业不错"

在上述文本中"北京交通大学"可以用"北交"代替，"交通信息工程及控制专业"可以用"交控专业"代替。

• "aaaaaaaaxxxxxxkkkkkkzzzzzzzzzz" 和 "8a6x6k10z"

在上述文本中有比较明显的局部重复，比如a出现了8次，z出现了10次，如果我们在分析了输入字符的分布规律之后，确定了"重复次数+字符"的规则，就可以进行替换了。

2.2 概率分布和数据编码

本质上来说，数据压缩就是找到待压缩内容的概率分布，再按照一定的编码算法，将那些出现概率高的部分代替成更短的形式。

所以输入内容重复的部分越多，就可以压缩地越小，压缩率越高，如果内容几乎没有重复完全随机，就很难压缩。

这个和我们平时优化代码性能的思路非常相似，热点代码的优化才能带来更大的收益。

2.3 数据压缩极限

前面提到了，用较短的字符串来替换较长的字符串就实现了压缩，那么如果对每次替换都使用最短的字符串，应该就可以认为是最优压缩了。

所以我们需要找到理论上的最短替换串的长度，换到二进制来说就是二进制的长度，这样就可以接近压缩极限了。

我们来分析一下：

• 抛硬币 只有正面和反面 两种情况 因此使用1位二进制 0和1 就可以

• 篮球比赛 存在胜/负/平 三种情况 因此需要使用2位二进制 00胜 01负 10平

• 猜生日月份 存在1-12月 12种情况 因此需要使用4位二进制 来表示各个月份

• 如果可能性有n个不同的值，那么替换串就需要log2(n)个二进制位来表示

假定内容由n个部分组成，每个部分出现概率分别为p1、p2、...pn，那么替代符号占据的二进制最少为：

log2(1/p1) + log2(1/p2) + ... + log2(1/pn) = ∑ log2(1/pn)

可能的情况越多，需要的二进制长度可能就越长，对于n相等的两个文件，概率p决定了这个式子的大小：

• p越大，表明文件内容越有规律，压缩后的体积就越小；

• p越小，表明文件内容越随机，压缩后的体积就越大。

举例：有一个文件包含A, B, C个三种不同的字符，50%是A，30%是B，20%是C，文件总共包含1024个字符，每个字符所占用的二进制位的数学期望为：

0.5*log2(1/0.5) + 0.3*log2(1/0.3) + 0.2*log2(1/0.2)=1.49

求得压缩后每个字符平均占用1.49个二进制位，理论上最少需要1.49*1024=1526个二进制位，约0.1863KB，最终的压缩比接近于18.63%。

3. 霍夫曼编码简介

哈夫曼编码(Huffman Coding)，又称霍夫曼编码，是一种编码方式，哈夫曼编码是可变字长编码(VLC)的一种。Huffman于1952年提出一种编码方法，该方法完全依据字符出现概率来构造异字头的平均长度最短的码字，有时称之为最佳编码，一般就叫做Huffman编码（有时也称为霍夫曼编码）。

霍夫曼编码使用变长编码表对源符号进行编码，其中变长编码表是通过评估源符号出现的几率得到的。

出现几率高的字母使用较短的编码，出现几率低的字母使用较长的编码，这使得编码之后字符串的总长度降低。

3.1 前缀编码

霍夫曼编码除了使用变长码之外，还使用前缀编码来确保解码时的唯一性，举个例子：

A-0 C-1 B-00 D-01 则编码后为：000011010

当我们对它进行解码的时候，会发现 0000 可能对应多种解码方式，如 AAAA、AAB、ABA、BB。

霍夫曼树中叶子节点之间不存在父子关系，所以每个叶子节点的编码就不可能是其它叶子节点编码的前缀，这是非常重要的。

3.2 霍夫曼树简单构造

霍夫曼树是霍夫曼编码的重要组成部分，我们拿一个具体的例子来看下霍夫曼树的一点特性。

• 输入数据："boob is bee boy"

• 字符串集合和频次统计

  • 集合 {b,o,s,i,e,y}

  • 频次 {b:4,o:3,e:2,i:1,y:1,s:1}

• 总计有6个字符，因此需要3位二进制

• 按照频率越高字符越短&前缀编码规则进行处理

  • b:00

  • o:01

  • e:100

  • i:101

  • y:110

  • s:111

  • 注意：e并不是001，因为这样不符合前缀编码 b是e的父节点

霍夫曼编码的原理和实现还是比较复杂的，篇幅有限，后面单独写一篇文章详细介绍。

4. 本文小结

本文对数据压缩进行了简要的介绍，说明了数据压缩的本质和算法的基本原理，以及霍夫曼树的一些原理。

数据压缩和分析内容的概率分布以及编码有直接的关系，但是各个场景下输入内容的侧重点会有所不同，利用机器学习来处理数据压缩也是当前的一个热门话题。

篇幅有限，后续会重点展开一些细节，这篇就算抛砖引玉开头篇了。

5. 推荐阅读

[加] 伊姆兰·艾哈迈德（Imran Ahmad）著

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帮助初学者理解算法背后的逻辑和数学知识

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