【原创】《矩阵的史诗级玩法》连载十四：二元二次方程和圆锥曲线

弹指一挥间，国庆迎来第七天。拖延症即将又要发作，虽然这次开了个好头，但是我有个老毛病，每次重新捡起键盘写博客之前都要花1天时间来酝酿情绪，对于平时的我来说，工作日是基本没办法写的，周末吧，睡觉一天，酝酿一天又说要上班了。所以当年我写书的时候还特地辞职在家专心写，然后天天被家长骂的不行。

本篇是一个新的开始，为了后面酝酿情绪的时间短一点，我今天怎么样都要先把这篇给死出来。从标题就不难看出，它跟前面的几篇关系不大。而且似乎也没矩阵的事。

事实上，它跟8个月前的连载二密切相关（哎呦，上次的还只是7个月，这次还变本加厉了），在那篇文章，我给出了一个通过缩放简化直线和椭圆相交判断的方法。而文中所提及的椭圆，正是一条二元二次方程。

接下来的几篇，我会给出用矩阵求解二元二次方程组的具体方案，而这套方案，正是建立在连载二缩放变换的基础上。

相信学过线代（哪怕是已经还给老师）的童鞋们都会第一时间想到矩阵可以用来解多元一次方程组，而我则会给出解二元二次方程组的方法，其所用到的东西虽然都是矩阵，形式上也有相似的地方，但做法却不尽相同。其新颖的套路，将马上给大家带来真正的史诗级体验！

废话先不说，上点效果图给大家看看这玩意儿能用在什么地方。

图中，地板上的图案叫水刀拼花。一般使用autoCad等软件制作，我们可以在这些软件里绘制圆弧，椭圆弧，样条曲线等各种形状的线条。但是它一般不包含具体的图形，也就是说，我们要通过算法把线条的交点都求出来，为生成封闭图形作准备。

PS：不要以为二元二次方程组解起来很简单，只是消个元就成一元二次了，实际上，二元二次方程组消元后可以产生4次项，比如

把1式代入到2式消去y，得到

4次倒不是大问题，因为有根式解，可以直接代入计算，不过如果方程中的两个式子都跟2式差不多样子的话，那消元这一步就已经很痛苦了。

那为什么高中的时候我们会出现二元二次方程的题目？那是因为他们都规避了出现4次的可能，所以在做曲线求交的时候，要么让你算直线和椭圆的（一个1次+一个二次），要么两个圆的（两二次方程可以联立求得一个一次方程），要么能通过特殊手法对其中一条方程进行降次，而绝对不会出现像下图这样的曲线求交。

抱歉，又扯远了，回归正题。

下一个问题，圆锥曲线又是什么？这个是高中解析几何教材提到的一个概念，据我所知有些版本的教材不叫这个名字，所以我也解释下。圆锥曲线是圆，椭圆，抛物线和双曲线的统称，它们都可以通过对圆锥进行截面而得到，如下图所示。

这个图是我从百度百科上直接复制过来的，虽然有点丑（主要是画质太差，其实画的还算可以），但因为我想偷懒所以就没再自己画了。

圆锥曲线都是二元二次方程，两个变量，最高次数均为两次。

圆的是

椭圆的是

抛物线的是

或

双曲线的是

以上方程中，除x，y外，其它字母均为常量。

它们均为二元二次方程，但不同曲线的方程形式不太一样，在有些问题上，我们会把括号部分全部展开，并且把所有项都移到左边，从而化成如下形式的一般方程。

值得一提的是，二次项除了x^2和y^2以外，还有一个xy，两个未知数各占一次所构成的二次项。

大家可以展开上面的4条方程，并整理成一般式，就会发现4种曲线都不包含二次项xy。这似乎说明了一个结论，上面的4种曲线并不能囊括所有的二元二次方程，或者说，二元二次方程所表示的曲线未必就是以上4种曲线的其中1种。

那么包含xy的它是神马样的曲线呢？还是说也有很多种？我们先从最简单的，只包含xy项的方程xy=1开始。

方程两边同时除以x，得到

y=1/x

这是很简单的-1次幂函数，也叫反比例函数，教材里也叫它做双曲线，那么它跟我们上面给出的双曲线是不是也是同一回事呢？我们先把两种双曲线都画出来，上面的为了简单点，我让x0，y0都等于0，a，b都等于1。

xy=1的长这样子

而x^2-y^2=1的则是长这样子

都是两段曲线，而且后者在补上渐近线之后，形状看起来跟前者真的很像，只是旋转了45度而已。

后者是解析几何中指定的双曲线标准方程，该曲线上任意一点到两个焦点距离之差等于一个固定的数值。那么我们试试看前者是否也符合双曲线的这一性质。

x^2-y^2=1的焦点为(-sqrt(2), 0)和(sqrt(2), 0)，不知道这一结论的可以自己找解析几何的教材复习一下。

然后我们试着照这个方式把xy=1可能是焦点的坐标求出来，为了让它们在变换上尽可能匹配，我们把xy=1的曲线顺时针旋转45度，不过数学书都喜欢反方向旋转坐标系。虽然我更喜欢旋转曲线，但是这里我也采用数学书的方式，因为这个做法有一个好处，就是可以更好的防治颈椎病~~

旋转坐标之后，两段曲线都跟x轴有个交点，这正是双曲线的两个顶点，由于这两个点是跟直线y=x相交所得，所以不难求得图上的两个黑点在旋转前的坐标为(1,1)和(-1,-1)。

在x^2-y^2=1中，顶点为(1, 0)对应的焦点为(sqrt(2), 0)，因此，现在我们按比例对应下，就得到焦点为(-sqrt(2), -sqrt(2))和(sqrt(2), sqrt(2))，刚好跟旋转后的坐标系的(-2,0)，(2, 0)重合。

上图的黑点即为xy=1最有可能的两个焦点。

现在我们开始计算xy=1上的任一点到这两个点的距离之差。

因为y=1/x，所以曲线上任意一点可以用(x, 1/x)来表示，我们用两点间距离公式算出该点到两焦点的距离之差。

这个式子看着蛋疼，很难化简，不过这里有个套路，由于x和1/x互为倒数，它们的积为1，所以用完全平方公式的时候，中间的项会等于一个常数

(x+1/x)^2=(x^2+2x*1/x+1/x^2)=x^2+2+1/x^2

借助这个套路，配平方会显得特别容易。

我们拿第一个根号内的部分进行化简试试。

这就化成了一个关于(x+1/x)的二次三项式，二次项为0，一次项系数一半的平方刚好等于常数项，所以它就是一个不折不扣的平方数

这步看不懂的可以从右边展开反推回去。

类似的地，另一个根号的部分可化为

先平方再开方的结果等于自身的绝对值，所以最终结果为

然后根据高中刷不等式题的思路，当x>0时，有x+1/x>=2*x*1/x=2，根据函数的对称性，x<0就有x<=-2，于是，当x>0时，两个绝对值号去掉后都不取反，而x<0的话则都取反。

这样我们分情况讨论下。

x>0时，有

而x<0时，有

综上所述，对于任意的(x, 1/x)，也就是曲线xy=1上的任意一点，它到两个点(-sqrt(2), -sqrt(2))和(sqrt(2), sqrt(2))的距离之差都等于固定值2*sqrt(2)，也就是说，xy=1也具备跟双曲线x^2-y^2这样的标准方程一样的性质！再简单点就是，这两种来源不同的双曲线本质上没有任何区别！

由此我们发现，虽然4种圆锥曲线的标准方程都不包含xy项，但是包含xy项的方程也有可能是圆锥曲线通过旋转一类的矩阵变换所得到的，标准方程旋转后会有产生xy项的可能。

那么问题来了，是不是所有包含xy项的二元二次方程都是圆锥曲线的变体？圆，椭圆和抛物线旋转后的方程又是啥样子的？双曲线旋转其它任意角度是否也会产生xy项？我的计划是在这篇内写完的，然而我又写长了，大家看到这里还没结束的话估计也困了吧。。。。其实我也困了，那下篇我再为大家揭晓这些问题的答案，敬请期待！

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