说在前面：临近期末考试，我总要逼着自己去学习。大学一点也不轻松，挂科可不是开玩笑的。那么在这种情况下，我就把我们高数课本上的知识点按我的理解按顺序尽可能地整理出来，通过bilibili专栏发表，希望能帮助更多的同学！

文字内容纯手打，真的是超级累啊。同时大部分都是自己的理解，错误与不当之处在所难免，还请大佬指正。

第一章 极限与连续

1.集合、邻域、极坐标、映射、函数(很好理解，意会就好)；

2.五类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数指由基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的函数复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数。画在同一张图里的基本初等函数

3.数列的极限与函数的极限定义[数列极限的ε-N语言；函数极限的ε-X语言(趋向无穷)和ε-δ语言(趋向有限值)]。

4.极限的性质：唯一性、有界性、保号性(很好理解，看一下书上的证明过程就好)。极限三性

5.海涅定理：这个定理联系了函数极限与数列极限。通俗地讲，如果一个函数有极限，对应的函数值数列也有极限。

6.无穷小量与无穷大量：比任何给定的数都要小即为无穷小，比任何给定的数都要大即为无穷大。在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小。反之亦然。

7.极限运算法则：跟小学的四则运算差不多的。对于同一极限过程，如果lim f(x)=A,lim g(x)=B，那么有lim f(x)±g(x)=A±B，lim[f(x)g(x)]=A×B，lim[f(x)/g(x)]=A/B(B≠0)。

8.如果求极限时出现分母为0的情况，可以考虑无穷小因子分出法，和……洛必达法则！

9.复合函数的极限运算法则：由里向外求就是了。

10.夹逼准则：“对于一个式子，如果比它大的式子极限是A，比它小的式子极限也是A，那么它的极限就是A”。

11.单调有界收敛准则：单调有界数列必有极限。(不要求证明，但是可以直观理解：有界，那怎么也不会超界；又是单调的，“回不了头”，会“被逼着在这个界下”，极限肯定就存在了。)

12.两个重要极限：1.当x→0时，(sin x)/x→1；2.当x→∞时，(1+1/x)^x→e，e是自然对数的底数，约等于2.71828……两个重要极限

13.无穷小的比较。同样是无穷小，但当两个无穷小相除时，却会得到不同的结果。设α和β是同一极限过程的无穷小。如果lim β/α=0，则β比α“小得更厉害”，称β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α)(以后看到o(某某)的就是比某某高阶的无穷小)；如果lim β/α=∞，则α比β“小得更厉害”，如果lim β/α=c(c为常数)，则它们小的程度相同，是同阶无穷小。如果c=1，则它们是等价无穷小，记作β~α。

14.等价无穷小的本质：如果两个函数的同一极限过程是等价无穷小的，当你把它的图像放大放大再放大的时候，你会发现它们几乎重合。等价无穷小的本质

15.常用的等价无穷小关系：(非常重要！)

sin x ~ x ~ tan x，1-cos x ~ 0.5x²，((1+x)^n)-1 ~ nx，ln(x+1) ~ x，(e^x)-1 ~ x

将上述式子中的x换成f(x)依然成立。左右两端可移项。

等价无穷小常用于简化求极限。

16.k阶无穷小的概念(常考)：若β与α^k(k>0)同阶无穷小，则称β是关于α的k阶无穷小。

17.等价无穷小替换法则。求极限时适当利用等价无穷小将乘积中的因子替换可以简化运算。注意，当两个式子相加减时，一般不能直接利用等价无穷小来替换。除非说相加减前左右两端的极限都存在(指极限值为一个确定的数而不是无穷大)，你才能替换。否则会产生错误。

典型的等价无穷小替换：求x→0时tan 2x/sin 5x的极限，将tan 2x等价无穷小替换成2x，将sin5x等价无穷小替换成5x，得原式等于2x/5x=2/5。

典型错误的加减运算等价无穷小替换：求x→0时(tan x-sin x)/(sin³x)的极限。如果直接将(tan x-sin x)替换成x-x则得出0的错误结果，正确的做法是将tan x代换成tan x(1-cos x)，再等价无穷小化为x·x²/2，这样就好搞了。

可以替换的加减运算等价无穷小示例：(sin x+e^x-1)/x在x→0时的极限：分子替换为x+x等于2x，结果为2x/x=2。这是因为sinx/x和(e^x-1)/x的极限都存在，然后就可以使用极限的四则运算法则，两式结果均为1加起来就是2了。

18.一个无穷小量与其主部等价。所谓主部，通俗地讲就是小得最不厉害的那个部分。比如说x+x²，当x→0的时候，显然x^2“小得更厉害”，那么就有x+x² ~ x。下面的图像直观地说明了这一点。一个无穷小量与其主部等价

19.函数的连续性。不断即连续。只需证明该函数在该点的极限等于该点的函数值，即x→x0时lim f(x)=f(x0)，即可证明函数在该点连续。

20.基本初等函数在它们的定义域内处处连续。(注意，你可能会拿tan x来反驳，明明不连续啊！但是tan x在不连续的地方是没有定义的！)初等函数在其定义区间内都连续。注意，定义区间是包含在定义域内的区间。初等函数仅在定义区间内连续，在定义域内不一定连续，比如f(x)=根号下(x²(x-1)³)，其定义域为{x|x=0,x≥1}，x=0是其定义域但它在这里不连续。

21.函数的间断点。顾名思义，不连续就间断嘛。如果函数f(x)在x0处不连续，那x0就称为函数f(x)的间断点。考试时按部就班地算就好。

间断点分类：

第一类间断点(左右极限都存在)：

可去间断点(左右极限相等)：“函数看上去就是连续的，唯有这一点没定义。”典例：f(x)=(x²-1)/(x-1)，几乎与g(x)=x+1的图像一模一样，唯一不一样的地方就在于f(x)的定义域不包含x=1，分母不能为0嘛。那么，x=1就是f(x)的可去间断点。

跳跃间断点(左右极限不等)：“函数图像出现了跳跃。”典例：许多分段函数。这个超好理解。

第二类间断点(不属于第一类间断点)：

无穷间断点：函数值在某点附近无限增大趋近无穷大，该点就被称为该函数的无穷间断点。典例：y=1/x，x=0就是其无穷间断点。

振荡间断点：函数值在某点附近变动无数次，无法确定，该点就被称为该函数的振荡间断点。典例：y=sin(1/x)。有图为证：四种函数的间断点

22.闭区间上连续函数的性质：

①最大值和最小值定理：闭区间上的连续函数一定可以取到最大值与最小值。很好理解。

②有界性定理：闭区间上的连续函数一定在该区间上有界。也很好理解。

③零点定理：这个高中就学过。如果函数在[a,b]上连续且f(a)·f(b)<0(即f(a)、f(b)异号)，那么在开区间(a,b)内一定存在一点ξ使f(ξ)=0。通俗的讲就是你要从负到正，正负之间必有0，你又不能“瞬移”(要求函数是连续的)，那么不管你怎么走，为了变换符号，总有一刻要经过0。

④介值定理。这个是零点定理的推广。如果函数在[a,b]上连续且f(a)=A，f(b)=B，A≠B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内都至少有一点ξ使f(ξ)=C。通俗的讲就是你要从A到B，AB之间必有C，你又不能“瞬移”(要求函数是连续的)，那么不管你怎么走，总有一刻要经过C。

那么第一章的知识点就暂时梳理到这里啦！下面是来自我们高数课本的第一章本章小结，供大家学习参考。第一章归纳总结-1

第一章归纳总结-2

最后——

加油！奥力给！