笔记来自清风老师的数学建模系列课程，课程链接：层次分析法

层次分析法例题，IMMC2020 https://blog.csdn.net/yanyanwenmeng/article/details/104907412

1.  指标选择途径

(1)题目背景

(2)中国知网、百度学术、谷歌学术等地方搜索相关文献，查找指标

(3)搜索网站推荐：虫部落https://search.chongbuluo.com/

(4)其他搜索途径，优先级：谷歌搜索、微信搜索、知乎搜索

指标选择一定要有依据，并且要说明为什么要选这些指标以及指标代表的含义。

2. 层次分析法的引出

比如要确定景色、花费等五个指标的权重，该如何确定呢？

如果一次性考虑五个指标的关系，往往考虑不周

【解决办法】两个两个指标之间进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。——层次分析法的思想

3. 层次分析法的思想

比如：如果花费比景色略微重要，则左下角单位格可以填2。

同理可以得到全部的判断矩阵：

【注意】层次分析法的判断矩阵(上面这张表)实际需要给专家填写。

4. 判断矩阵不一致问题

4.1 不一致矩阵举例

4.2 一致矩阵需要满足的关系

一致矩阵需要满足下面的关系：

4.3 一致矩阵的例子

比如红色框的内容和黄色框的内容是成2倍的关系的。按照两列之间对比也是成倍数的关系。

4.4 一致矩阵的概念

【注意】 不一定要达到绝对的一致矩阵，只需要一致性不要偏差太大，不然矛盾很多，我们填写的判断矩阵就没有任何意义了。

如何判断一致性偏差是否在允许接受的范围内呢？——一致性检验

5. 一致性检验

5.1 一致性检验的原理

【原理】检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

下面是两个一致矩阵：

满足一致矩阵的充要条件：

黄色框表示第2、3……n行的值和第一行成倍数关系(也可以定义为列与列之间成比例)。

秩的解释：https://www.zhihu.com/question/21605094

https://blog.csdn.net/edward_zcl/article/details/90177159

总结：秩相当于解方程组时有用的方程数。

特征值的解释：matlab编程基础——基于层次分析法

比如第一个表格求最大特征值matlab代码：

A = [1 2 4; 1/2 1 2; 1/4 1/2 1];

eig(A)%求每一行的特征值，共有3个

发现最大特征值为3。

当矩阵不一致时：

(黄色框为最大特征值)发现最大特征值是大于3的。即最大特征值>n,且判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差越大。

5.2 一致性检验的步骤

【注意】当一致性检验通过后才可计算权重，如果一致性检验通不过，则需要重新调整判断矩阵。

6. 权重计算

6.1 一致矩阵计算权重

也可以按照第二列或者第三列的数据进行计算。权重计算完后需要归一化处理。

6.2 判断矩阵计算权重

由于判断矩阵不一定为一致矩阵，所以它的各行(列)之间不一定成比例，因此，计算权重时需要利用每一列的数据把权重计算出来，最后利用三种方法求权重即可。

比如下面这个判断矩阵(不是一致矩阵，因为各行不成比例)

计算出每一列的权重：

6.2.1 算术平均法求权重

数学公式：

6.2.2 几何平均法求权重

6.2.3 特征值法求权重(用的最多，建议使用这个)

一致矩阵求权重

判断矩阵求权重

matlab求解：

A = [1 2 5; 1/2 1 2; 1/5 1/2 1];

[V D] = eig(A)

最大特征值为3.0055，对应的特征向量为[-0.8902 -0.4132 -0.1918]

CI = (3.0055-3)/2

CR = CI/0.52

计算步骤：

CR = 0.0053 < 0.1  ,说明此矩阵的一致性可以接受。

求权重：

V = [-0.8902 -0.4132 -0.1918]

S = sum(V)

G = [V(1,1)/S V(1,2)/S V(1,3)/S]%归一化

excel中进行计算每个城市的得分(需要用“$”符号锁定单元格)：

7. 求权重matlab代码

%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。

%% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。

%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。

%% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。

%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。

disp('请输入判断矩阵A')

A=input('A=');

[n,n] = size(A);

% % % % % % % % % % % % %方法1： 算术平均法求权重% % % % % % % % % % % % %

Sum_A = sum(A);

SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);

Stand_A = A ./ SUM_A;

disp('算术平均法求权重的结果为：');

disp(sum(Stand_A,2)./n)

% % % % % % % % % % % % %方法2： 几何平均法求权重% % % % % % % % % % % % %

Prduct_A = prod(A,2);

Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);

disp('几何平均法求权重的结果为：');

disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

% % % % % % % % % % % % %方法3： 特征值法求权重% % % % % % % % % % % % %

[V,D] = eig(A);

Max_eig = max(max(D));%求最大特征值

[r,c]=find(D == Max_eig , 1);

disp('特征值法求权重的结果为：');

disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

% % % % % % % % % % % % %下面是计算一致性比例CR的环节% % % % % % % % % % % % %

CI = (Max_eig - n) / (n-1);

RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15

% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数

CR=CI/RI(n);

disp('一致性指标CI=');disp(CI);

disp('一致性比例CR=');disp(CR);

if CR<0.10

disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');

else

disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');

end

特征值法求权重：要保证矩阵是逆矩阵。

%% 输入判断矩阵

clear;clc

disp('请输入判断矩阵A： ')

% A = input('判断矩阵A=')

A =[1 1 4 1/3 3;

1 1 4 1/3 3;

1/4 1/4 1 1/3 1/2;

3 3 3 1 3;

1/3 1/3 2 1/3 1]

% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:

% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]

% 两行之间以分号结尾(最后一行的分号可加可不加)，同行元素之间以空格(或者逗号)分开。

[n,n] = size(A) % 也可以写成n = size(A,1)

%% 方法3：特征值法求权重

% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

[V,D] = eig(A) %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵(除了对角线元素外，其余位置元素全为0)

Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~ 求最大特征值

% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。

% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0

% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算

D == Max_eig

[r,c] = find(D == Max_eig , 1)

% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。

% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

V(:,c)%未归一化的结果

disp('特征值法求权重的结果为：');

disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。

%% 计算一致性比例CR

CI = (Max_eig - n) / (n-1);

RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15

CR=CI/RI(n);

disp('一致性指标CI=');disp(CI);

disp('一致性比例CR=');disp(CR);

if CR<0.10

disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');

else

disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');

end

8. 评价类问题需要注意的细节

层次结构图：

9. 模型拓展

准则层可以有多层

准则层不一定对应全部方案。比如：可以为一对二，如下图所示

准则层不一定对应全部方案。比如：可以为一对一，如下图所示。