最近为补充数学知识，在小破站学习了内蒙古大学孙炯老师《泛函分析》, 本文是前半部分（距离空间、赋范空间、内积空间）部分知识点的一个小总结.

Contents

泛函分析（空间部分）

距离空间

距离、距离空间的定义

距离空间例

距离空间中的收敛性

内点、开集、邻域

等价距离

连续函数

闭集

可分距离空间

列紧距离空间

完备

距离空间的完备化

压缩映射原理

线性赋范空间

赋范空间的定义和基本性质

LpL^pLp空间

L∞L^{\infty}L∞

lpl^plp空间、l∞l^\inftyl∞空间

凸集

子空间

Riesz引理

等价范数

有限维范数

级数

商空间

内积空间

内积定义

正交、正交分解

正交补集

最佳逼近

Hilbert 空间最佳逼近点

正交系、标准正交系

Fourier级数

正交基

Hilbert 空间中的正交基完备性

可分 Hilbert 空间

泛函分析（各空间特点总结）

Rn\R^nRn

C[a,b]C[a, b]C[a,b]

l∞l^\inftyl∞

sss

S[E]S[E]S[E]

LpL^pLp空间

L∞(E)L^{\infty}(E)L∞(E)

c,c0c, c_0c,c0

l2l^2l2

L2L^2L2

泛函分析（空间部分）

距离空间

距离、距离空间的定义

非空集合AAA中任意两个元素x,yx, yx,y, d(x,y)d(x, y)d(x,y)满足

正定: ∀x,y∈A,d(x,y)>0\forall x, y \in A, d(x, y) > 0∀x,y∈A,d(x,y)>0, 且d(x,y)=0⇔x=yd(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = yd(x,y)=0⇔x=y
对称: ∀x,y∈A,d(x,y)=d(y,x)\forall x, y \in A, d(x, y) = d(y, x)∀x,y∈A,d(x,y)=d(y,x)
三角不等式: ∀x,y,z,d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)\forall x, y, z, d(x, y) \leq d(x, z) + d(y, z)∀x,y,z,d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)

称(X,d)(X, d)(X,d)是距离空间, d(⋅,⋅)d(\cdot,\cdot)d(⋅,⋅)是距离.

距离空间例

Rn={(x1,x2,⋯,xn)∣xi∈R}\R ^ n = \{(x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_i \in \R\}Rn={(x1,x2,⋯,xn)∣xi∈R}, d(x,y)d(x, y)d(x,y)可定义欧式距离、哈密顿距离等

l∞={x=(ξ1,ξ2,⋯,ξn,⋯),∣ξn∣≤cx}l^\infty= \{x = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n, \cdots), |\xi_n| \leq c_x\}l∞={x=(ξ1,ξ2,⋯,ξn,⋯),∣ξn∣≤cx}: 所有有界序列组成的元素, d(x,y)=sup⁡j∈N∗∣ξj−ηj∣d(x, y) = \sup_{j\in \N^*} | \xi_j - \eta_j|d(x,y)=supj∈N∗∣ξj−ηj∣

C[a,b]C[a, b]C[a,b]: 所有在[a,b][a, b][a,b]区间上连续的函数, d(x,y)=max⁡a≤t≤b∣x(t)−y(t)∣d(x, y) = \max_{a \leq t\leq b} |x(t) - y(t)|d(x,y)=maxa≤t≤b∣x(t)−y(t)∣

离散距离空间: ∀A≠∅,∀x,y∈A,d(x,y)=I(x≠y)\forall A \neq \varnothing, \forall x, y \in A, d(x, y) = \mathbb{I}(x \neq y)∀A=∅,∀x,y∈A,d(x,y)=I(x=y)

距离空间中的收敛性

有了距离空间，就可以引入极限的概念.

定义(X,d)(X, d)(X,d)的序列{xn}n=1∞\{x_n\}_{n=1}^\infty{xn}n=1∞在n→∞n\to \inftyn→∞时d(xn,x0)→0d(x_n, x_0)\to 0d(xn,x0)→0为{xn}\{x_n\}{xn}以x0x_0x0为极限.

{xn}\{x_n\}{xn}极限唯一, {xn}\{x_n\}{xn}的子列也收敛到x0x_0x0.

d(x,y)d(x, y)d(x,y)是二元连续函数.

内点、开集、邻域

开球: (X,d)(X, d)(X,d)空间中B(x,r)={x∈X∣d(x0,x)<r}B(x, r) = \{x\in X|d(x_0, x) < r\}B(x,r)={x∈X∣d(x0,x)<r}

内点: x∈G⊆Xx \in G\subseteq Xx∈G⊆X是GGG的内点⇔∃ε>0,B(g,ε)⊆G\Lrarr \exists \varepsilon > 0, B(g, \varepsilon) \subseteq G⇔∃ε>0,B(g,ε)⊆G

开集: 所有点都是内点的集合. 如开球是开集.

拓扑定义下的开集: 空集全集, 任意并, 有限交

等价距离

两个距离是等价的，∃C1,C2,∀x,y,C1d1≤d2≤C2d1⇔d1∼d2\exists C_1, C_2, \forall x, y, C_1 d_1 \leq d_2 \leq C_2 d_1 \Lrarr d_1 \sim d_2∃C1,C2,∀x,y,C1d1≤d2≤C2d1⇔d1∼d2

连续函数

T:(X,d)→(X1,d1)T:(X, d)\rarr (X_1, d_1)T:(X,d)→(X1,d1)满足∀ε>0,∃δ>0,∀x,d(x,x0)<δ→d2(Tx,Tx0)<ε\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, d(x,x_0) < \delta \rightarrow d_2(Tx, Tx_0) < \varepsilon∀ε>0,∃δ>0,∀x,d(x,x0)<δ→d2(Tx,Tx0)<ε

等价叙述:

∀ε>0,∃δ>0,TB(x0,δ)⊆B(T(x0),ε)\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, TB(x_0, \delta) \subseteq B(T(x_0), \varepsilon)∀ε>0,∃δ>0,TB(x0,δ)⊆B(T(x0),ε)
开集的原象是开集
TTT可与求极限运算交换顺序: lim⁡n→∞Txn=Tlim⁡n→∞xn\lim_{n\to \infty}Tx_n = T\lim_{n\to \infty}x_nlimn→∞Txn=Tlimn→∞xn

闭集

闭集定义: AAA是(X,d)(X, d)(X,d)中闭集=△∁XA\overset{\triangle}= \complement_XA=△∁XA是开集

AAA的接触点: 任意邻域中有AAA的点（聚点: 将“邻域”改成“去心邻域”）

定义d(x,A)=inf⁡a∈Ad(x,a)d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a)d(x,A)=infa∈Ad(x,a), 则接触点即与AAA距离为000的点.

闭包: Aˉ=△{x∣d(x,A)=0}\bar A \overset \triangle = \{x | d(x, A) = 0\}Aˉ=△{x∣d(x,A)=0}

AAA是闭集⇔A=Aˉ⇔A\Lrarr A = \bar A \Lrarr A⇔A=Aˉ⇔A中收敛点列极限在AAA中.

可分距离空间

AAA在BBB上稠密 =△\overset \triangle ==△ Bˉ=A\bar B = ABˉ=A

等价描述: ∀b∈B,∃{an}n=1∞,lim⁡n→∞an=b\forall b \in B, \exists \{a_n\}_{n=1}^\infty, \lim_{n\to \infty}a_n = b∀b∈B,∃{an}n=1∞,limn→∞an=b

可分: 存在可数稠密子集

列紧距离空间

序列紧(Wierstrass定理), Borel紧(开覆盖) (两种紧性等价)

AAA是(X,d)(X, d)(X,d)子集，若AAA中每个无穷点列存在收敛点列，则称AAA是列紧的.

列紧且闭: 自列紧(收敛到自己) ，自列紧推出“有界且闭”

列紧集的子集有界

自列紧空间上的实值函数可取得极大、极小值.

完备

所有柯西列收敛

完备空间的闭子空间完备

列紧空间是完备的

距离空间的完备化

所有距离空间都可以完备化

压缩映射原理

(X,d)(X, d)(X,d)完备, T:X→XT: X \to XT:X→X满足∃θ∈(0,1),d(Tx,Ty)≤θd(x,y)\exists \theta \in (0, 1), d(Tx, Ty) \leq \theta d(x, y)∃θ∈(0,1),d(Tx,Ty)≤θd(x,y), 则TTT有唯一不动点(这个收敛是指数速度的)

应用:

压缩型矩阵方程
微分方程、积分方程
- 一般微分方程
{x(t0)=x0dxdt=f(x,t)⇒x=∫t0tf(x,τ)dτ\begin{cases} x(t_0) = x_0 \\ \displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = f(x, t) \end{cases} \Rightarrow x = \int_{t_0}^t f(x, \tau) \mathrm d \tau ⎩⎨⎧x(t0)=x0dtdx=f(x,t)⇒x=∫t0tf(x,τ)dτ
- Fredhom积分方程
  x(t)=φ(t)+μ∫abk(t,s)x(s)dsx(t) = \varphi(t) + \mu \int_{a}^b k(t, s) x(s) \mathrm{d}s x(t)=φ(t)+μ∫abk(t,s)x(s)ds
- Volterra积分方程
  x(t)=φ(t)+μ∫atk(t,s)x(s)dsx(t) = \varphi (t) + \mu \int_{a}^{t} k(t, s) x(s) \mathrm{d} s x(t)=φ(t)+μ∫atk(t,s)x(s)ds

线性赋范空间

赋范空间的定义和基本性质

XXX是数域K\mathbb{K}K上线性空间, ∥⋅∥:X→R\|\cdot \|: X\to \R∥⋅∥:X→R满足∀x,y∈X,α∈K\forall x, y \in X, \alpha \in \mathbb K∀x,y∈X,α∈K

∥x∥≥0\|x\| \geq 0∥x∥≥0 且 ∥x∥=0⇔x=0\|x\|=0 \Lrarr x =0∥x∥=0⇔x=0
∥αx∥=∣α∣∥x∥\|\alpha x \| = |\alpha| \|x\|∥αx∥=∣α∣∥x∥
∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥

称为范数

范数诱导的距离空间: d(x,y)=∥x−y∥d(x, y) = \|x - y\|d(x,y)=∥x−y∥

∥⋅∥\|\cdot \|∥⋅∥是连续函数, 可以和极限运算交换顺序.

距离空间不一定是赋范空间

满足d(x,y)=d(x+z,y+z),d(αx,αy)=∣α∣d(x,y)d(x, y) = d(x + z, y + z), d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha| d(x, y)d(x,y)=d(x+z,y+z),d(αx,αy)=∣α∣d(x,y)时d(⋅,0)d(\cdot, 0)d(⋅,0)是范数

完备的赋范线性空间称为Banach空间.

LpL^pLp空间

f(x)f(x)f(x)是EEE上可测函数, 并且1≤p<∞1 \leq p < \infty1≤p<∞,
Lp(E)={f:E→R∣∫E∣f(x)∣pdx<∞},∥x∥p=(∫E∣x(t)∣pdt)1pL^p(E) = \left\{f: E\to \R\Bigg|\int_E|f(x)|^p\mathrm{d}x< \infty\right\}, \quad \|x\|_p = \left(\int_E|x(t)|^p\mathrm d t\right)^{\frac{1}{p}} Lp(E)={f:E→R∣∣∣∣∣∫E∣f(x)∣pdx<∞},∥x∥p=(∫E∣x(t)∣pdt)p1
三角不等式的导出

Hoelder不等式: ∀p,q>0,1/p+1/q=1\forall p, q > 0, 1/p+1/q = 1∀p,q>0,1/p+1/q=1,
∫E∣x(t)y(t)∣dt≤(∫E∣x(t)∣pdt)1p(∫E∣x(t)∣qdt)1q\int_E |x(t)y(t)|\mathrm{d}t \leq \left(\int_E |x(t)|^p\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_E |x(t)|^q\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{q}} ∫E∣x(t)y(t)∣dt≤(∫E∣x(t)∣pdt)p1(∫E∣x(t)∣qdt)q1
Minkowski不等式:
(∫E∣x(t)+y(t)∣pdt)1p≤(∫E∣x(t)∣pdt)1p+(∫E∣y(t)∣pdt)1p\left(\int_E |x(t)+y(t)|^p\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\int_E |x(t)|^p\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_E |y(t)|^p\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{p}} (∫E∣x(t)+y(t)∣pdt)p1≤(∫E∣x(t)∣pdt)p1+(∫E∣y(t)∣pdt)p1

完备(Banach)，可分(有理系数多项式)，连续函数在其上稠密

L∞L^{\infty}L∞

除去一个测度为000的集合外剩下部分有界的函数组成的空间
L∞(E)={f:E→R∣inf⁡mE0=0sup⁡E\E0∣x(t)∣}L^{\infty}(E) = \left\{f: E\to \R \Bigg| \inf_{\mathrm m E_0 = 0}\sup_{E\backslash{E_0}} |x(t)| \right\} L∞(E)={f:E→R∣∣∣∣∣mE0=0infE\E0sup∣x(t)∣}
范数定义为本性上确界
∥x∥=inf⁡mE0=0sup⁡E\E0∣x(t)∣=△esssup⁡E∣x(t)∣\|x\| = \inf_{\mathrm m E_0 = 0}\sup_{E\backslash{E_0}} |x(t)| \overset \triangle =\mathrm{ess} \sup_E |x(t)| ∥x∥=mE0=0infE\E0sup∣x(t)∣=△essEsup∣x(t)∣
完备(Banach), 不可分.

收敛性: 除去一个000测度集之外处处收敛.

lpl^plp空间、l∞l^\inftyl∞空间

lp={x={ξn}∣∑k=1∞∣ξk∣p<∞}l^p = \{x = \{\xi_n\}|\sum_{k=1}^\infty |\xi_k|^p<\infty\}lp={x={ξn}∣∑k=1∞∣ξk∣p<∞}仍可建立Hoelder不等式和Minkowski不等式，范数
∥x∥=∑k=1∞∣ξk∣p<∞\|x\| = \sum_{k=1}^\infty |\xi_k|^p<\infty ∥x∥=k=1∑∞∣ξk∣p<∞
是p<∞p < \inftyp<∞时是可分的、完备的

l∞={x=(ξ1,ξ2,⋯,ξn,⋯),∣ξn∣≤cx}l^\infty= \{x = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n, \cdots), |\xi_n| \leq c_x\}l∞={x=(ξ1,ξ2,⋯,ξn,⋯),∣ξn∣≤cx}, 范数
∥x∥=sup⁡k∣ξk∣\|x\| = \sup_k |\xi_k| ∥x∥=ksup∣ξk∣
l∞l^{\infty}l∞是不可分的、完备的

凸集

定义: AAA是线性空间XXX的子集, 若∀x,y∈A,α∈(0,1)\forall x, y \in A, \alpha \in (0, 1)∀x,y∈A,α∈(0,1), αx+(1−α)y∈A\alpha x + (1-\alpha) y \in Aαx+(1−α)y∈A, 则称AAA为凸集.

∀B∈X\forall B \in X∀B∈X, 定义包含BBB的所有凸集的交为BBB的凸包, Co(A)\mathrm{Co} (A)Co(A)

子空间

赋范空间d额真子空间不可能是开的

Rn\R^nRn中所有子空间是闭的(因为是完备的)

但∞\infty∞维时子空间不一定是闭的

Riesz引理

设(X,∥⋅∥)(X, \|\cdot\|)(X,∥⋅∥)是赋范线性空间, X0X_0X0是XXX的真闭子空间, 则∀ε>0,∃x0∈X,∥x0∥=1\forall \varepsilon > 0, \exists x_0 \in X, \|x_0\| = 1∀ε>0,∃x0∈X,∥x0∥=1且∀x∈X0\forall x \in X_0∀x∈X0
∥x−x0∥>1−ε\|x - x_0\| > 1-\varepsilon ∥x−x0∥>1−ε
描述了赋范空间下的“垂直”属性，但是>1−ε>1-\varepsilon>1−ε不能改成≥1\geq 1≥1

等价范数

(X,∥⋅∥1),(X,∥⋅∥2)(X, \|\cdot\|_1), (X, \|\cdot \|_2)(X,∥⋅∥1),(X,∥⋅∥2)是同一线性空间上两个不同的范数, 若∃C,D>0,∀a∈X\exists C, D > 0, \forall a \in X∃C,D>0,∀a∈X
C∥a∥1≤∥a∥2≤D∥a∥1C\|a\|_1 \leq \|a\|_2 \leq D\|a\|_1 C∥a∥1≤∥a∥2≤D∥a∥1
则称两个范数∥⋅∥1,∥⋅∥2\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2∥⋅∥1,∥⋅∥2等价

有限维范数

有限维赋范空间与Rn\R^nRn代数同构、拓扑同胚

有限维赋范空间中任意两个范数等价

赋范空间XXX是有限维的⇔X\Leftrightarrow X⇔X中一切有界集是列紧的⇔\Lrarr⇔XXX上单位球面是列紧的

级数

∑k=1∞xn=x1+x2+x3+⋯Sn=∑k=1nxk\sum_{k=1}^\infty x_n = x_1 + x_2 + x_3 + \cdots \\ S_n = \sum_{k=1}^n x_k k=1∑∞xn=x1+x2+x3+⋯Sn=k=1∑nxk

级数收敛↔部分和序列收敛: ∥Sn−S∥→0(n→∞)\|S_n - S\| \to 0 (n \to \infty)∥Sn−S∥→0(n→∞), SSS是级数的和.

对于完备空间, 若∑k=1n∥xk∥\sum_{k=1}^n\|x_k\|∑k=1n∥xk∥收敛，则∥∑k=1nxk∥\|\sum_{k=1}^nx_k\|∥∑k=1nxk∥收敛，且
∥∑k=1nxk∥≤∑k=1n∥xk∥\left\|\sum_{k=1}^nx_k\right\| \leq \sum_{k=1}^n\|x_k\| ∥∥∥∥∥k=1∑nxk∥∥∥∥∥≤k=1∑n∥xk∥
而“若∑k=1n∥xk∥\sum_{k=1}^n\|x_k\|∑k=1n∥xk∥收敛，则∥∑k=1nxk∥\|\sum_{k=1}^nx_k\|∥∑k=1nxk∥收敛”也蕴含完备.

商空间

MMM是XXX的线性子空间，∀x1,x2∈X\forall x_1, x_2\in X∀x1,x2∈X，若x1−x2∈Mx_1-x_2 \in Mx1−x2∈M则称x1,x2x_1, x_2x1,x2关于MMM等价. x~\tilde xx~定义为与xxx等价的所有元素, X~=X/M\tilde X = X/MX~=X/M

商空间中的范数: ∥x~∥=inf⁡y∈x~∥y∥\|\tilde x\| = \inf_{y\in \tilde x} \|y\|∥x~∥=infy∈x~∥y∥

完备空间对闭子空间的商空间总是完备的.

内积空间

内积定义

线性空间XXX上定义(⋅,⋅):X×X→K(\cdot, \cdot): X\times X\to \mathbb K(⋅,⋅):X×X→K, 满足∀a,b,c,∈X\forall a, b, c, \in X∀a,b,c,∈X

(a,a)≥0(a, a) \geq 0(a,a)≥0, 且(a,a)=0⇔a=0(a, a) = 0 \Lrarr a = 0(a,a)=0⇔a=0
(a,b)=(b,a)‾(a, b) = \overline{(b, a)}(a,b)=(b,a)
(αa,b)=α(a,b)(\alpha a, b) = \alpha (a, b)(αa,b)=α(a,b)
(a+b,c)=(a,c)+(b,c)(a + b, c) = (a, c) + (b, c)(a+b,c)=(a,c)+(b,c)

为XXX上一个内积.

Schwartz不等式: ∣(x,y)∣2≤(x,x)(y,y)|(x, y)|^2 \leq (x, x) (y, y)∣(x,y)∣2≤(x,x)(y,y)

∥x∥=(x,x)\|x\|=(x, x)∥x∥=(x,x)是范数, 三角不等式由Schwartz不等式证明.

范数与内积的关系: 内积空间是赋范空间，但赋范空间不一定是内积空间. 只有范数满足平行四边形法则
∥x+y∥+∥x−y∥=2(∥x∥2+∥y∥2)\|x + y\| + \|x-y\| = 2(\|x\|^2+\|y\|^2) ∥x+y∥+∥x−y∥=2(∥x∥2+∥y∥2)
时才可以定义
(x,y)=14(∥x+y∥2−∥x−y∥2+i∥x+iy∥−i∥x−iy∥)(x, y) = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2+\mathrm{i} \|x+\mathrm iy\| -\mathrm{i} \|x-\mathrm iy\|) (x,y)=41(∥x+y∥2−∥x−y∥2+i∥x+iy∥−i∥x−iy∥)
完备的的赋范线性空间称为Hilbert空间

HHH是Hilbert空间，Y⊆HY\subseteq HY⊆H是线性子空间，则YYY是闭的⇔\Lrarr⇔YYY是完备的. Lp,lpL^p, l^pLp,lp空间中，仅p=2p=2p=2是内积空间.

正交、正交分解

正交: x⊥y⇔(x,y)=0x \perp y \Lrarr (x, y) = 0x⊥y⇔(x,y)=0

勾股定理: x⊥y⇒∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2x\perp y \Rarr \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2x⊥y⇒∥x+y∥2=∥x∥2+∥y∥2

点与集合正交: x⊥M=△∀y∈M,x⊥yx\perp M \overset\triangle = \forall y \in M, x\perp yx⊥M=△∀y∈M,x⊥y

集合与集合正交: M⊥N=△∀x∈M,y∈N,x⊥yM \perp N \overset\triangle = \forall x \in M, y \in N, x\perp yM⊥N=△∀x∈M,y∈N,x⊥y

正交补集

M⊆XM\subseteq XM⊆X, XXX中与MMM中所有元素都正交的所有元素构成的集合
M⊥={y∈X∣∀x∈M,(x,y)=0}M^\perp = \{y\in X | \forall x \in M, (x,y)=0\} M⊥={y∈X∣∀x∈M,(x,y)=0}
性质:

0∈M⊥0 \in M^\perp0∈M⊥
M⊥M^\perpM⊥中的非000元素不可能在MMM中
{0}⊥=X,X⊥={0}\{0\}^\perp = X, X^\perp = \{0\}{0}⊥=X,X⊥={0}
含开球的集合MMM的正交补是{0}\{0\}{0}
若N⊆MN\subseteq MN⊆M, 则M⊥⊆N⊥M^\perp \subseteq N^\perpM⊥⊆N⊥
M⊆M⊥M \subseteq M^{\perp}M⊆M⊥

XXX是内积空间, M⊆XM \subseteq XM⊆X, 则M⊥M^{\perp}M⊥是XXX的闭子空间.

MMM是内积空间, MMM是XXX的子空间，则x∈M⊥x \in M^{\perp}x∈M⊥等价于∀y∈M∥x−y∥≥x\forall y \in M \|x - y\| \geq x∀y∈M∥x−y∥≥x

最佳逼近

内积空间是严格凸的赋范空间.

严格凸的空间上, 凸集与其外一点的最佳逼近点存在且唯一.

Hilbert 空间最佳逼近点

正交分解: HHH是Hilbert空间, MMM是HHH的闭子空间, 则∀x∈H,∃!x0∈M,y∈M⊥,x=x0+y\forall x \in H, \exists ! x_0 \in M, y \in M^{\perp}, x = x_0 + y∀x∈H,∃!x0∈M,y∈M⊥,x=x0+y

Hilbert空间HHH中任意闭线性子空间XXX满足: (X⊥)⊥=X(X ^\perp) ^\perp = X(X⊥)⊥=X, 由此可推出

Hilbert空间HHH中任意线性子空间XXX满足: (X⊥)⊥=X‾(X ^\perp) ^\perp = \overline X(X⊥)⊥=X
X⊥=0⇔XX ^\perp = 0 \Lrarr XX⊥=0⇔X 在HHH中稠密.

正交系、标准正交系

{xα}α∈I\{x_\alpha\}_{\alpha \in I}{xα}α∈I是内积空间中非0元素组成的集合，且在α≠β\alpha \neq \betaα=β时, (xα,xβ)=0(x_\alpha, x_\beta) = 0(xα,xβ)=0, 则{xα}α∈I\{x_\alpha\}_{\alpha \in I}{xα}α∈I是一个正交系.

若∀α∈I,∥xα∥=1\forall \alpha \in I, \|x_\alpha\| = 1∀α∈I,∥xα∥=1则成为标准正交系.

标准正交系张成的空间中x=∑n(x,en)enx = \sum_{n} (x, e_n) e_nx=∑n(x,en)en, 其线性组合系数易于表示.

如果{xα}α∈I\{x_\alpha\}_{\alpha \in I}{xα}α∈I是内积空间的正交系, 则它是线性无关的.

内积空间中, 正交基不唯一.

设{ek}\{e_k\}{ek}是内积空间XXX上的标准正交系, x∈Xx\in Xx∈X, a1,⋯,ana_1, \cdots, a_na1,⋯,an是nnn个数. 则∥x−∑k=1nakek∥\|x - \sum_{k=1}^n a_ke_k\|∥x−∑k=1nakek∥取得最小值⇔∀k,ak=(x,ek)\Leftrightarrow \forall k, a_k = (x, e_k)⇔∀k,ak=(x,ek)

Fourier级数

从微积分中的Fourier正余弦级数得到.

定义: {en}n=1∞\{e_n\}_{n=1}^\infty{en}n=1∞是内积空间中正交系, 称∑n=1∞(x,en)en\sum_{n=1}^\infty (x, e_n) e_n∑n=1∞(x,en)en为关于{en}\{e_n\}{en}的Fourier级数, (x,en)(x, e_n)(x,en)为Fourier系数.

Bessel 不等式: {ek}k=1∞\{e_k\}_{k=1}^\infty{ek}k=1∞是内积空间XXX的标准正交列, 则∀x∈X\forall x\in X∀x∈X, ∑k=1∞∣(x,ek)∣2≤∥x∥2\sum_{k=1}^\infty |(x, e_k)|^2 \leq \|x\|^2∑k=1∞∣(x,ek)∣2≤∥x∥2

由 Bessel 不等式, Fourier 级数一定是收敛的, 从而在n→∞n\rarr \inftyn→∞时(x,en)→0(x, e_n) \to 0(x,en)→0, 由此可推出 Fourier 三角级数的 Riemann-Lebesgue 引理.

∫−ππx(t)sin⁡(t)dt→n→∞0\int_{-\pi}^{\pi} x(t) \sin(t) \mathrm{d}t \xrightarrow{n\to \infty} 0 ∫−ππx(t)sin(t)dtn→∞0

在完备的Hilbert空间中, ∑n=1∞aken\sum_{n=1}^\infty a_k e_n∑n=1∞aken收敛⇔∑k∣ak∣2<∞⇔{αn}n=1∞∈l2\Lrarr \sum_k |a_k|^2 < \infty \Lrarr \{\alpha_n\}_{n=1}^\infty \in l^2⇔∑k∣ak∣2<∞⇔{αn}n=1∞∈l2, 有

∑n=1∞aken≤∑n=1∞∣ak∣2\sum_{n=1}^\infty a_k e_n \leq \sum_{n=1}^\infty |a_k|^2 n=1∑∞aken≤n=1∑∞∣ak∣2

从而 Fourier 级数总是收敛的, 并且收敛是按范数收敛

正交基

正交基: 所张成空间在全空间稠密的正交基:

span‾{xα}=X\overline{\mathrm{span}}\{x_{\alpha}\} = X span{xα}=X

内积空间中, Parseval 等式: ∑k=1∞∣(x,ek)∣2=∥x∥2\sum_{k=1}^\infty |(x, e_k)|^2 = \|x\|^2∑k=1∞∣(x,ek)∣2=∥x∥2空间中所有元素成立的正交基=△\overset \triangle ==△完备的正交基.

Hilbert 空间中的正交基完备性

Hilbert 空间 HHH 中的正交基完备的等价描述

{en}⊥={0}\{e_n\}^\perp = \{0\}{en}⊥={0}
∀x∈H,x=∑k=1∞(x,ek)ek\forall x \in H, x = \sum_{k=1}^\infty (x, e_k) e_k∀x∈H,x=∑k=1∞(x,ek)ek (Fourier 级数收敛)
span‾{xα}=H\overline{\mathrm{span}}\{x_{\alpha}\} = Hspan{xα}=H
∀x∈H,∥x∥2=∑n=1∞∣(x,en)∣2\forall x \in H, \|x\|^2 = \sum_{n=1}^\infty |(x, e_n)|^2∀x∈H,∥x∥2=∑n=1∞∣(x,en)∣2

其中第1条和第3条通常容易验证一些.

完备例: 三角多项式、Legendre 多项式

一个 Hilbert 空间可有多组正交基.

可分 Hilbert 空间

Hilbert 空间 HHH 可分 ⇔\Leftrightarrow⇔ HHH有至多可数的正交基.

可分的 Hilbert 空间 HHH 同构于 KN(N<∞)\mathbb K^N (N < \infty)KN(N<∞) 或 l2(N=∞)l^2 (N = \infty)l2(N=∞)

泛函分析（各空间特点总结）

Rn\R^nRn

Rn={(x1,x2,⋯,xn)∣xi∈R}\R ^ n = \{(x_1, x_2, \cdots, x_n) | x_i \in \R\}Rn={(x1,x2,⋯,xn)∣xi∈R}, d(x,y)d(x, y)d(x,y)可定义为欧式距离、哈密顿距离等.

Rn\R^nRn中按欧式距离收敛≡\equiv≡按坐标收敛.

完备

C[a,b]C[a, b]C[a,b]

C[a,b]C[a, b]C[a,b]: 所有在[a,b][a, b][a,b]区间上连续的函数, 定义一致距离

d(x,y)=max⁡a≤t≤b∣x(t)−y(t)∣d(x, y) = \max_{a \leq t\leq b} |x(t) - y(t)| d(x,y)=a≤t≤bmax∣x(t)−y(t)∣
C[a,b]C[a, b]C[a,b]中的收敛≡\equiv≡一致收敛

是可分空间

列紧集: 一致有界且等度连续(Arzela定理)

完备

范数定义是
∥x∥=max⁡a≤t≤b∣x(t)∣\|x\| = \max_{a \leq t \leq b} |x(t)| ∥x∥=a≤t≤bmax∣x(t)∣
诱导出一致距离.

l∞l^\inftyl∞

l∞={x=(ξ1,ξ2,⋯,ξn,⋯),∣ξn∣≤cx}l^\infty= \{x = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n, \cdots), |\xi_n| \leq c_x\}l∞={x=(ξ1,ξ2,⋯,ξn,⋯),∣ξn∣≤cx}: 所有有界实数序列, 定义距离
d(x,y)=sup⁡j∈N∗∣ξj−ηj∣d(x, y) = \sup_{j\in \N^*} | \xi_j - \eta_j| d(x,y)=j∈N∗sup∣ξj−ηj∣
不可分，不列紧，完备

是赋范空间, 范数
∥x∥=sup⁡k∣ξk∣\|x\| = \sup_k |\xi_k| ∥x∥=ksup∣ξk∣

sss

s={{ξn}n=1∞∣∀i∈N,ξn∈R}s = \{\{\xi_n\}_{n=1}^\infty | \forall i \in \N, \xi_n \in \R \}s={{ξn}n=1∞∣∀i∈N,ξn∈R}: 所有的实数列. 对x={ξn}n=1∞x = \{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}x={ξn}n=1∞和y={ηn}n=1∞y = \{\eta_n\}_{n=1}^{\infty}y={ηn}n=1∞定义距离
d(x,y)=∑n=1∞12n∣ξn−ηn∣1+∣ξn−ηn∣d(x, y) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\frac{|\xi_n - \eta_n|}{1 + |\xi_n - \eta_n|} d(x,y)=n=1∑∞2n11+∣ξn−ηn∣∣ξn−ηn∣
sss中的收敛: 按坐标收敛.

可分

ddd不能定义范数

S[E]S[E]S[E]

S[E]S[E]S[E]是Lebesgue可测集EEE上几乎处处有限的可测的函数, 其中mE<∞{\rm m}E<\inftymE<∞, 定义
d(x,y)=∫E∣x(t)−y(t)∣1+∣x(t)−y(t)∣d(x, y) = \int_E \frac{|x(t)-y(t)|}{1+|x(t)-y(t)|} d(x,y)=∫E1+∣x(t)−y(t)∣∣x(t)−y(t)∣
S[E]S[E]S[E]中的收敛是依测度收敛.

LpL^pLp空间

Hoelder不等式: ∀p,q>0,1/p+1/q=1\forall p, q > 0, 1/p+1/q = 1∀p,q>0,1/p+1/q=1,
∫E∣x(t)y(t)∣dt≤(∫E∣x(t)∣pdt)1p(∫E∣x(t)∣qdt)1q\int_E |x(t)y(t)|\mathrm{d}t \leq \left(\int_E |x(t)|^p\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_E |x(t)|^q\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{q}} ∫E∣x(t)y(t)∣dt≤(∫E∣x(t)∣pdt)p1(∫E∣x(t)∣qdt)q1
Minkowski不等式:
(∫E∣x(t)+y(t)∣pdt)1p≤(∫E∣x(t)∣pdt)1p+(∫E∣y(t)∣pdt)1p\left(\int_E |x(t)+y(t)|^p\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\int_E |x(t)|^p\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_E |y(t)|^p\mathrm{d}t\right)^{\frac{1}{p}} (∫E∣x(t)+y(t)∣pdt)p1≤(∫E∣x(t)∣pdt)p1+(∫E∣y(t)∣pdt)p1

完备(Banach)，可分(有理系数多项式)，连续函数在其上稠密

L∞(E)L^{\infty}(E)L∞(E)

收敛性: 除去一个000测度集之外处处收敛.

c,c0c, c_0c,c0

ccc: 所有收敛的数列, 可分

c0c_0c0: 所有收敛于000的数列, 是l∞l^\inftyl∞的闭子空间, 可分

l2l^2l2

lpl^plp空间中p=2p=2p=2, 它是内积空间，且是Hilbert空间
(x,y)=∑k=1∞xkyk‾(x, y) = \sum_{k=1}^\infty x_k \overline {y_k} (x,y)=k=1∑∞xkyk

L2L^2L2

LpL^pLp空间中p=2p=2p=2, 它是内积空间，且是Hilbert空间
(x,y)=∫Ex(t)y(t)‾dt(x, y) = \int_{E} x(t)\overline{y(t)} \mathrm{d} t (x,y)=∫Ex(t)y(t)dt
诱导范数
∥x∥=∫E∣x(t)∣2dt\|x\| = \int_{E} |x(t)|^2\mathrm{d}t ∥x∥=∫E∣x(t)∣2dt