空间几何变换知识点——摘自《机器视觉研究与发展》赵彭

空间几何变换与机器视觉有着密切的关系，是研究机器视觉的重要数学工具之一。空间几何变换主要包括射影变换、仿射变换、比例变换、欧氏变换等，各种变换的不变量性质在机器视觉中也具有重要的作用。

1 齐次坐标

用n+1维矢量表示一个n维矢量。

优越性：（1）提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。（2）可以表示无穷远点。

2 射影变换

射影变换（projective transformation）是一种最为广义的线性变换。

射影变换中用非齐次坐标表示的变换关系是非线性的。

三维射影空间中齐次坐标表示的变换矩阵：

Tp = p11 p12 p13 p14

p21 p22 p23 p24

p31 p32 p33 p34

p41 p42 p43 p44

Tp共有16参数，但用一个非零的比例因子归一，因此有15个自由度。

3 仿射变换

仿射变换（affine transformation）是射影变换的特例，是一类重要的线性几何变换。在射影变换中，射影中心平面变为无限远处时，射影变换就变成了仿射变换。

非齐次坐标表示的射影变换为非线性变换，而仿射变换为线性变换。

三维仿射空间，仿射变换矩阵用齐次表示为：

Ta = a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

0 0 0 1

因此，仿射变换矩阵中有12个自由度。

4 比例变换

比例变换（ratio of transformation）是带有一个比例因子的欧氏变换（Euclidean transformation，欧几里得变换，简称欧氏变换）。

三维空间中比例变换矩阵用齐次表示为：

Tm = k*r11 k*r12 k*r13 t11

k*r21 k*r22 k*r23 t21

k*r31 k*r32 k*r33 t31

0 0 0 1

r(i,j)组成一个正交矩阵，它是一个旋转矩阵，有3个自由度，k为比例因子，或称为缩放因子。因此比例变换共7个自由度，其中3个旋转，3个平移和1个比例因子。比例变换不改变物体空间的形状，只是改变大小，所以有时将比例变换称为相似变换。

5 欧氏变换

欧氏变换（Euclidean transformation）是在欧氏空间进行的变换，与比例变换很类似，只是比例因子取1。欧氏变换有6个自由度，即三个旋转、三个平移。

三维空间中欧氏变换矩阵用齐次表示为：

Te = r11 r12 r13 t11

r21 r22 r23 t21

r31 r32 r33 t31

0 0 0 1

欧氏变换代表了在欧氏空间中的刚体运动或刚体变换。

综上所述：仿射变换是透视变换的特例，比例变换是仿射变换的特例，而欧氏变换又是比例变换的特例。

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