统计量由来与定义

如前所述，在进行统计推断时，构造样本的适当函数是关键，一个好的表达式，可以更方便研究总体的未知分布及相关性质。

为此，我们给出下列定义.

定义：设(X1,X2,...,Xn)({X_1},{X_2},...,{X_n})(X1,X2,...,Xn)为总体X{X}X的一个样本，称此样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量。

举例说明：设总体X{X}X服从正态分布，E(X)=5{E(X)=5}E(X)=5,D(X)=σ2D(X) = {\sigma ^2}D(X)=σ2,σ{\sigma}σ未知。(X1,X2,...,Xn)({X_1},{X_2},...,{X_n})(X1,X2,...,Xn)为总体X{X}X的一个样本，令：
Xˉ=X1+X2+...+Xnn\bar X = {{{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \over n}Xˉ=nX1+X2+...+Xn
U=X1+X2+...+XnnσU = {{{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \over {n\sigma }}U=nσX1+X2+...+Xn
那么Xˉ\bar XXˉ为该样本的统计量，而U{U}U不是，因为其表达式中含有了X{X}X的未知参数σ\sigmaσ

常用的统计量

设(X1,X2,...,Xn)({X_1},{X_2},...,{X_n})(X1,X2,...,Xn)为总体X{X}X的一个样本

样本均值

称样本的算术平均值为样本均值，记为Xˉ\bar XXˉ，即
Xˉ=X1+X2+...+Xnn\bar X = {{{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \over n}Xˉ=nX1+X2+...+Xn

样本方差

样本方差是用来描述样本中诸分量与样本均值的均方差异的，它有两种定义方式。

未修正样本方差

S02=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)2S_0^2 = {1 \over n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_i} - \bar X} \right)}^2}} S02=n1i=1∑n(Xi−Xˉ)2

修正样本方差

S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2S^2 = {1 \over {n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_i} - \bar X} \right)}^2}}S2=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2

由于存在数学关系E(S2)=σ2E({S^2}) = {\sigma ^2}E(S2)=σ2(后面证明)，修正样本方差具有更好的统计性质，故样本方差均采用修正样本方差。

样本标准差

样本标准差定义为样本方差的算术平方根

S=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2S = \sqrt {{1 \over {n - 1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_i} - \bar X} \right)}^2}} } S=n−11i=1∑n(Xi−Xˉ)2

样本原点矩

k阶原点矩为

Ak=1n∑i=1nXik{A_k} = {1 \over n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i^k} Ak=n1i=1∑nXik

样本中心距

k阶中心距为

Bk=1n∑i=1n(Xi−Xˉ)k{B_k} = {1 \over n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_i} - \bar X} \right)}^k}} Bk=n1i=1∑n(Xi−Xˉ)k

样本均值与方差性质讨论

均值性质

如果总体X{X}X具有数学期望E(X)=μE(X) = \muE(X)=μ，则

E(Xˉ)=E(X)=σE(\bar X) = E(X) = \sigmaE(Xˉ)=E(X)=σ

结论显然，证明从略。

方差性质

如果总体X{X}X具有方差D(X)=σ2D(X) = {\sigma ^2}D(X)=σ2，则

D(Xˉ)=1nD(X)=σ2nD(\bar X) = {1 \over n}D(X) = {{{\sigma ^2}} \over n}D(Xˉ)=n1D(X)=nσ2
E(S2)=D(X)=σ2E({S^2}) = D(X) = {\sigma ^2}E(S2)=D(X)=σ2

证明：

对于D(Xˉ)=1nD(X)=σ2nD(\bar X) = {1 \over n}D(X) = {{{\sigma ^2}} \over n}D(Xˉ)=n1D(X)=nσ2：

D(Xˉ)=D(X1+X2+...+Xnn)D(\bar X) = D({{{X_1} + {X_2} + ... + {X_n}} \over n})D(Xˉ)=D(nX1+X2+...+Xn)

=D(X1n)+D(X2n)+...+D(Xnn)= D({{{X_1}} \over n}) + D({{{X_2}} \over n}) + ... + D({{{X_n}} \over n})=D(nX1)+D(nX2)+...+D(nXn)

=1n2D(X1)+1n2D(X2)+...+1n2D(Xn)= {1 \over {{n^2}}}D({X_1}) + {1 \over {{n^2}}}D({X_2}) + ... + {1 \over {{n^2}}}D({X_n})=n21D(X1)+n21D(X2)+...+n21D(Xn)

=1n2D(X)×n=D(X)n=σ2n= {1 \over {{n^2}}}D(X) \times n = {{D(X)} \over n} = {{{\sigma ^2}} \over n}=n21D(X)×n=nD(X)=nσ2

对于E(S2)=D(X)=σ2E({S^2}) = D(X) = {\sigma ^2}E(S2)=D(X)=σ2：

E(S2)=E(∑i=1n(Xi−Xˉ)2n−1)E({S^2}) = E\left( {{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_i} - \bar X} \right)}^2}} } \over {n - 1}}} \right)E(S2)=E⎝⎜⎜⎛n−1i=1∑n(Xi−Xˉ)2⎠⎟⎟⎞

=1n−1E(∑i=1n(Xi−Xˉ)2)= {1 \over {n - 1}}E(\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_i} - \bar X} \right)}^2}} )=n−11E(i=1∑n(Xi−Xˉ)2)

=1n−1E(∑i=1n(Xi2−2XiXˉ+Xˉ2))= {1 \over {n - 1}}E(\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {X_i^2 - 2{X_i}\bar X + {{\bar X}^2}} \right)} )=n−11E(i=1∑n(Xi2−2XiXˉ+Xˉ2))

=1n−1E(∑i=1nXi2−2∑i=1nXiXˉ+∑i=1nXˉ2)= {1 \over {n - 1}}E(\sum\limits_{i = 1}^n {X_i^2} - 2\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}\bar X} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{\bar X}^2}} )=n−11E(i=1∑nXi2−2i=1∑nXiXˉ+i=1∑nXˉ2)

=1n−1E(∑i=1nXi2−2nXˉ2+∑i=1nXˉ2)= {1 \over {n - 1}}E(\sum\limits_{i = 1}^n {X_i^2} - 2n{\bar X^2} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{\bar X}^2}} )=n−11E(i=1∑nXi2−2nXˉ2+i=1∑nXˉ2)

=1n−1E(∑i=1nXi2−nXˉ2)= {1 \over {n - 1}}E(\sum\limits_{i = 1}^n {X_i^2} - n{\bar X^2})=n−11E(i=1∑nXi2−nXˉ2)

=1n−1(∑i=1nE(Xi2)−nE(Xˉ2))= {1 \over {n - 1}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {E(X_i^2)} - nE({{\bar X}^2})} \right)=n−11(i=1∑nE(Xi2)−nE(Xˉ2))

由方差公式，有：E(X2)=D(X)+(E(X))2E({X^2}) = D(X) + {(E(X))^2}E(X2)=D(X)+(E(X))2，代入即得上式：

=1n−1(∑i=1nD(Xi)+(E(Xi))2−n(D(Xˉ)+(E(Xˉ))2))= {1 \over {n - 1}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {D({X_i}) + (E({X_i})} {)^2} - n\left( {D(\bar X) + {{(E(\bar X))}^2}} \right)} \right)=n−11(i=1∑nD(Xi)+(E(Xi))2−n(D(Xˉ)+(E(Xˉ))2))

=1n−1(∑i=1nσ2+μ2−n(σ2n+μ2))= {1 \over {n - 1}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{\sigma ^2} + {\mu ^2}} - n\left( {{{{\sigma ^2}} \over n} + {\mu ^2}} \right)} \right)=n−11(i=1∑nσ2+μ2−n(nσ2+μ2))

=1n−1(nσ2+nμ2−n(σ2n+μ2))= {1 \over {n - 1}}\left( {n{\sigma ^2} + n{\mu ^2} - n\left( {{{{\sigma ^2}} \over n} + {\mu ^2}} \right)} \right)=n−11(nσ2+nμ2−n(nσ2+μ2))

=σ2= {\sigma ^2}=σ2

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