数据结构：图的基本概念

一、什么是图？
二、图的分类
- 1. 无向图
- - 1.1 无向完全图
  - 1.2 连通图（无向图）
  - 1.3 无向图的度
- 2. 有向图
- - 2.1 有向完全图
  - 2.2 强连通图（有向图）
  - 2.3 有向图的度
- 2. 稀疏图和稠密图
- 3. 有环图和无环图
- 4. 加权图和无权图
三、图的存储结构
- 1. 邻接矩阵
- 2. 邻接表
参考链接

一、什么是图？

图是一种非线性的数据结构，表示多对多的关系。

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V, E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

在图中需要注意的是：

线性表和树可以看做特殊的图。
线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）
线性表可以没有元素，称为空表；树中可以没有节点，称为空树；但是，在图中不允许没有顶点（有穷非空性）
线性表中的各元素是线性关系，树中的各元素是层次关系，而图中各顶点的关系是用边来表示（边集可以为空）。

二、图的分类

1. 无向图

顾名思义，无向图就是图上的边没有方向。上图就是一个无向图。该图的顶点集为 V = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ，边集 E = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 5 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 6 ) }。在无向图中，边 ( u , v )和边 ( v , u )是一样的，也就是说和方向无关。

1.1 无向完全图

在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2 条边。

1.2 连通图（无向图）

在无向图G中，如果从顶点u到顶点v有路径，则称u和v是连通的。
如果对于图中任意两个顶点u、v，都有(u, v)∈E（即u和v都是连通的），则称G是连通图。
无向图中的极大连通子图称为连通分量。
连通分量需要满足：

必须是子图；
必须是连通的；
含有极大顶点数；
包含依附于这些顶点的所有边。

上图中，图1是无向非连通图（因为A与E不连通，即不满足图上任意两个顶点连通），但是有两个连通分量，即图2和图3。而图4，尽管是图1的子图，但是它却不满足连通子图的极大顶点数(图2满足)。因此它不是图1的无向图的连通分量。

这里，补充一个概念。
关节点(割点)：某些特定的顶点对于保持图或连通分支的连通性有特殊的重要意义。如果移除某个顶点将使图或者分支失去连通性，则称该顶点为关节点。如下图中的顶点c 。

1.3 无向图的度

对于无向图G= (V, E)，如果边(v,v’)属于E，则称顶点v和v‘互为邻接点，即(v,v’)与顶点v和v’相关联。顶点v的度是和v相关联的边的数目。如下面这个无向图，顶点A 的度为3。各个顶点度的和=3+2+3+2=10。而此图的边数是5，推敲后发现，边数其实就是各顶点度数和的一半，多出的一半是因为重复两次计数。

2. 有向图

顾名思义，有向图就是图上的边有方向。
上图就是一个有向图。该图的顶点集为 V = { A , B , C , D } ，边集 E = { < B , A > , < B , C > , < C , A > , < A , D > }。在有向图中，边 < u , v >和边 < v , u >是不一样的。

通常情况下，有向图中的边用< >表示，无向图中的边用( )表示。

2.1 有向完全图

在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条边，则称该图为有向完全图。n个顶点的有向完全图含有n*(n-1)条边。

2.2 强连通图（有向图）

在有向图G中，如果对于每一对顶点vi、vj且vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。
有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。
强连通图具有如下定理：一个有向图G是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个节点一次。
如上图所示，图1不是强连通图，图2是强连通图。图2也可以看做是图1的强连通分量。

2.3 有向图的度

对于有向图G = (V, E)，如果边<v,v’>属于E，则称顶点v邻接到顶点v’，顶点v’邻接自顶点v的边<v,v’>和顶点v， v’相关联。
从顶点v出发的边的数目称为v的出度；到达顶点v的边的数目称为v的入度，顶点v的度=出度+入度。以下面这个有向图为例，
顶点A的入度是2 （从B到A的边，从C到A的边），出度是1（从A到D的边），所以顶点A的度为2+1=3。此有向图的边有4 条，而各顶点的出度和为1+2+1+0=4，各顶点的入度和=2+0+1+1=4。

2. 稀疏图和稠密图

按照边的多少来分稀疏图和稠密图。假设一个图的顶点数为n，如果边数大于n*log n，则该图为稠密图，反之则为稀疏图。

3. 有环图和无环图

先了解一些概念：

路径(path)： 依次遍历顶点序列之间的边所形成的轨迹。注意，依次就意味着有序，先1后2和先2后1不一样。
简单路径： 没有重复顶点的路径称为简单路径。说白了，这一条路径中没有出现绕了一圈回到同一顶点的情况。
环：包含相同的顶点两次或者两次以上。例如，下图中路径 < 1 , 2 , 4 , 3 , 1 >，其中1出现了两次，那么这条路径就是一个环路。

因此，顾名思义，有环图就是图上有环，无环图就是没有环的图。
特别地，有向无环图有，又叫做DAG(Directed Acyline Graph)，具有一些很好的性质，很多动态规划的问题都可以转化成DAG中的最长路径、最短路径或者路径计数的问题。

4. 加权图和无权图

首先需要了解一下什么是权。有些图的边上具有与它相关的数字，这种与图的边相关的数叫做权（Weight）。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。因此加权图就是边上带有权重的图，与其对应的是无权图，或叫等权图，即边上没有权重信息。如果一张图不含权重信息，我们就认为边与边之间没有差别。

通常情况下，加权图会被称为网络。

三、图的存储结构

1. 邻接矩阵

图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点的信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中边的信息。
（1）下图是使用邻接矩阵存储无向图。如图所示，设置两个数组，顶点数组为vertex[4] = {v0, v1, v2, v3}，边数组arc[4][4]实际上是一个矩阵。对于矩阵的主对角线的值，即arc[0][0]、arc[1][1]、arc[2][2]、arc[3][3]全为0，这是因为顶点上不存在自环的边。通过这个例子可以看出，无向图的邻接矩阵是一个对称矩阵。
（2）下图是使用邻接矩阵存储有向图。如图所示，设置两个数组，顶点数组为vertex[4] = {v0, v1, v2, v3}，边数组arc[4][4]实际上是一个矩阵。对于矩阵的主对角线的值，即arc[0][0]、arc[1][1]、arc[2][2]、arc[3][3]全为0，这是因为顶点上不存在自环的边。通过这个例子可以看出，有向图的邻接矩阵并不是一个对称矩阵。

2. 邻接表

邻接表由表头节点和表节点两部分组成，图中每个顶点均对应一个存储在数组中的表头节点。如果这个表头节点所对应的顶点存在邻接节点，则把邻接节点依次存放于表头节点所指向的单向链表中。
（1）下图所示的就是一个无向图的邻接表结构。从该图可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。例如：v1顶点与v0、v2互为邻接点，则在v1的边表中，adjvex分别为v0的0和v2的2。

（2）下图是使用邻接表存储有向图。值得注意的是，由于有方向的，因此有向图的邻接表分为出边表和入边表（又称逆邻接表），出边表的表节点存放的是从表头节点出发的有向边所指的尾节点；入边表的表节点存放的则是指向表头节点的某个顶点。

显而易见，如果图是一个稀疏图，用邻接表进行存储比较合适，如果图是一个稠密图，则用邻接矩阵更合适。

参考链接

https://www.cnblogs.com/xiaobingqianrui/p/8902111.html
https://www.cnblogs.com/ssyfj/p/9474032.html
https://blog.csdn.net/yjw123456/article/details/90211563

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2.3 有向图的度

2. 稀疏图和稠密图

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1. 邻接矩阵

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