理解和应用共线平面束

定义

相交于同一条直线的所有平面组成的集合。这条直线称为共线平面束的轴。

别称

1、有轴平面束；
2、相交平面束。

方程

方程：μ(A1x+B1y+C1z+D)+λ(A2x+B2y+C2z+D)=0
注意：1、λ越大，两个平面的夹角越大；2、因为两个平面要相交才有一条公共的直线，所以A1、B1、C1和A2、B2、C2不成比例；3、A1、B1、C1不同时为0，A2、B2、C2不同时为0；4、μ=1时，方程表达的平面束不包括A2x+B2y+C2z+D；同理，λ=1时，方程表达的平面束不包括A1x+B1y+C1z+D。

应用

平面π过某直线且满足其他条件，求平面π的方程。

例题

例题一：平面2x-y-2z+1=0与平面x+y+4z-2=0交于直线l，平面π过直线l，求满足下列条件的平面π。（1）平面π与平面x-3y+z-2=0垂直。（2）平面π在y和z上的非零截距相同。
解：设平面束方程：2x-y-2z+1+λ(x+y+4z-2)=0，整理后有(2+λ)x+(λ-1)y+(4λ-2)z+1-2λ=0。第一问：两个平面垂直，则它们的法向量也相互垂直，所以向量(2+λ,λ-1,4λ-2)与向量(1,-3,1)相互垂直，即它们的内积等于0。(2+λ,λ-1,4λ-2)·(1,-3,1)=0，⇒λ=-3/2，带入平面束方程得到平面π的方程：(1/2)x-(5/2)y-8z+4=0。第二问：因为平面π与y和z上的非零截距相同，所以平面π的y和z上的系数相等。于是有λ-1=4λ-2，λ=1/3，得到平面π的方程：(7/3)x-(2/3)y-(2/3)z+1/3=0

               x+y-z-1=0
例题二：求直线l:x-y+z+1=0 在平面π：x+y+z=0上投影的直线的方程。
解：设共线平面束方程：x+y-z-1+λ(x-y+z+1)=0，变形后得：(1+λ)x+(1-λ)y+(λ-1)z+λ-1=0。
由题意可知，过直线l做平面π上的投影经过的平面α与平面π垂直，所以这两个平面的法向量正交。
所以有：(1+λ,1-λ,λ-1)·(1,1,1)=0，求得λ=-1，从而求得平面α为y-z-1=0。所求直线为：
x+y+z=0
y-z-1=0。

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