四、随机变量及其分布函数的基本定义和性质 random variables and distribution

1、随机变量是一个从样本空间Ω映射到实数集合R的函数。

2、随机变量的分布函数：FX(x)=P(X≤x)F_X(x)=P(X \leq x)FX(x)=P(X≤x)，称为X服从FX(x)F_X(x)FX(x)，记为X∼FX(x)X \sim F_X(x)X∼FX(x)。

离散型随机变量：分布列
连续型随机变量：X∼F(x)X \sim F(x)X∼F(x)，存在非负可积函数f(x)f(x)f(x)，使得F(x)=∫−∞xf(t)dtF(x)= \int_{-\infty}^{x}f(t)dtF(x)=∫−∞xf(t)dt，则称X为连续性随机变量，f(x)f(x)f(x)为X的概率密度函数（PDF）。

概率密度函数一定满足：∫−∞+∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=1∫−∞+∞f(x)dx=1

连续型随机变量的分布函数一定是R上的连续函数，但分布函数在R上是连续函数的随机变量不一定是连续型随机变量。

连续型随机变量的单点概率为0，f(x)不是其单点概率。

3、分布函数的性质：

单调性：F(x)在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)上单调非减。
有界性：∀x∈R,0≤F(x)≤1\forall x\in R, 0 \leq F(x) \leq 1∀x∈R,0≤F(x)≤1
右连续性：∀x0∈R,lim⁡x→x0F(x)=F(x0)\displaystyle \forall x_0 \in R , \lim_{x \to x_0} F(x) = F(x_0)∀x0∈R,x→x0limF(x)=F(x0)

利用分布函数计算随机变量在不同区间上的概率：
P(a<x≤b)=F(b)−F(a)P(x=a)=P(x≤a)−P(x<a)=F(a)−lim⁡x→a−F(x)=F(a)−F(a−)P(a≤x≤b)=F(b)−F(a−)\begin{aligned} P(a<x\leq b) & = F(b)- F(a)\\ P(x=a) &=P(x\leq a)-P(x < a) =F(a)- \lim_{x \to a-}F(x)=F(a)-F(a-)\\ P(a \leq x \leq b) & = F(b) -F(a-) \end{aligned} P(a<x≤b)P(x=a)P(a≤x≤b)=F(b)−F(a)=P(x≤a)−P(x<a)=F(a)−x→a−limF(x)=F(a)−F(a−)=F(b)−F(a−)
4、计算随机变量分布函数唯一且最有效的方法：利用定义F(x)=P(X≤x)F(x)=P(X \leq x)F(x)=P(X≤x)

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