快乐暑假（八）——欧拉回路和哈密顿回路

欧拉回路

定义

欧拉回路：图G中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路
欧拉通路：（欧拉路径）：图G中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路
欧拉图：存在欧拉回路的图
半欧拉图：存在欧拉通路的图
极大连通子图：在一个连通子图中，包含和顶点有关所有的边（the more the better），那就是极大连通子图。

判定一个图是否是（半）欧拉图

无向图：

定理1：无向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。

推论1：无向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数外，所有顶点的度为偶数。

有向图：

定理2：有向图G{G}G为欧拉图，当且仅当G{G}G的基图为连通图，且所有顶点的入度等于出度。

注：有向图的基图就是去掉所有方向的无向图。

推论2：有向图G{G}G为半欧拉图，当且仅当G{G}G的基图为连通图，且存在顶点u{u}u的入度比出度大1，v{v}v的出度比入度大1，且其他的所有顶点的入度等于出度。

对于求解欧拉回路的，我们还需要以下两个性质：

设C{C}C是欧拉图G{G}G中的一个简单的回路，将C{C}C中的边从图G{G}G中删去的带一个新的图G1{G^{1}}G1，则G1{G^{1}}G1的每一个极大连通子图都有一条欧拉回路。

证明： 若G{G}G为无向图，则图G′{G^{'}}G′的各顶点的度都为偶数；若G{G}G为有向图，则图G′{G^{'}}G′的各顶点的入度等于出度。

设C1{C_{1}}C1、C2{C_{2}}C2是图G{G}G的两个没有公共边，但至少有一个公共顶点的简单回路，我们可以将他合并成一个新的简单回路C′{C^{'}}C′。

证明： 按下图合并

算法步骤

以无向图为例：

在图G{G}G中任意找到一个回路C{C}C；
将图G{G}G中属于回路C{C}C的边删除；
在残余图的各极大连通子图中分别寻找欧拉回路；
将各极大连通子图的欧拉回路合并到C{C}C中得到图G{G}G的欧拉回路。

算法原理

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;const int M = 100010,N = 1000010;
int head[M],ver[N],Next[N],tot;//邻接表
int stack[N],ans[N];
bool vis[N];
int n,m,top,t;
void add(int x,int y) {ver[++tot] = y,Next[tot] = head[x],head[x] = tot;
}
void euler() {stack[++top] = 1;while(top > 0) {int x = stack[top], i =head[x];while(i && vis[i]) i = Next[i]; //找到一条未访问的边if(i) {                           //沿着这条边模拟递归的过程，标记改变，并更新表头stack[++top] = ver[i];head[x] = Next[i];vis[i] = vis[i^1] = true;} else {                       //与x相连的所有边都已经访问，模拟回溯过程，并记录于答案栈中 top--;ans[++t] = x;}}
}
int main(){scanf("%d %d",&n,&m);tot = 1;for(int i = 1; i <= m; i++){int x,y;scanf("%d %d",&x,&y);add(x,y);add(y,x);}euler();for(int i = t; i ; i--) printf("%d\n",ans[i]);return 0;
}

参考：黄新军，董永建《信息学奥赛一本通·提高篇》

哈密顿回路