第四章有限域1

第四章 有限域例(有限域有多种定义方式)F32:=GF(2,5);F32 eq GF(32);F32 eq GaloisField(32);F32 eq FiniteField(32);F32 eq GaloisField(2,5);F32 eq FiniteField(2,5);扩域和子域G:=GF(11,3);H:=ext;I:=sub;I;PrimeField(G); PrimeField(H);GroundField(G); GroundField(H); 特征和次数 Characteristic(G); Degree(I); PrimeField(G); PrimeField(H);GroundField(G); GroundField(H); 指定有限域的本原元 G:=GF(11,3); G.1; g^2-g+10; 改变域中元素的表示方式 AssertAttribute(G, “PowerPrinting”, false); g^29; g^1158; 本原元及本原多项式 H:=ext; IsPrimitive(h); IsPrimitive(h+1); Magma提供的有限域的生成元并不一定是本原元IsPrimitive(Generator(GF(2,128))); IsPrimitive(Generator(GF(2,100)));PrimitiveElement(GF(2,100));MinimalPolynomial(GF(2,100).1);GF(2,100).1 eq Generator(GF(2,100));通过不可约多项式生成域扩张F9:=GF(9);Set(F9);iPF9:=PolynomialRing(F9);f:=x^4+g^6*x^2+g^5;IsIrreducible(f);F9e4:=ext;F9e4;Evaluate(f,alpha);Roots(f); Roots(PolynomialRing(F9e4)!f);也可以不通过先生成多项式环然后再域扩张F9e4:=ExtensionField; 或者F9e4e3:=ext;F9e4e3;defF9e4e3:=DefiningPolynomial(F9e4e3); defF9e4e3; defF9e4e3 eq IrreduciblePolynomial(F9e4,3);极小多项式和分裂域p:=MinimalPolynomial(alpha^3+alpha,F9)*MinimalPolynomial(g*beta^2,F9);Spl:=SplittingField(p);Spl;Roots(p);Roots(PolynomialRing(F9e4e3)!p); 单位根扩张 F9:=GF(9); r:=RootOfUnity(23,F9); L:=Parent(r); L; Order(r); 有限域的子域 F81A:=sub; F81B:=sub; DefiningPolynomial(F81A); DefiningPolynomial(F81B); F81A eq F81B; F81A!gammaB; F81B!gammA; 为解决由ext构造的相同阶的有限域的相容性问题，我们介绍有限域的嵌入 例 Embed(F81A,F81B); F81A eq F81B; F9e4e11:=ext; F81A subset F9e4e11; F9e4e11!gammaA; Embed(F81A,F9e4e11); F81A subset F9e4e11; F9e4e11!gammaA; Degree(F9e4e11); Degree(F9e4e11,F81A); 如果直接构造有限域，则没有上述问题。 F3:=GF(7,3); F4:=GF(7,3); F3 eq F4; F3.1 eq F4.1; 关于有限域中元素