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题目概述

解题思路

这道题看上去要用动态规划处理。动归的一个关键在于构造最优子问题（也就是写递推公式）。对于这种矩阵形式的动态规划，另一个关键（也是我之前选择性忽略的）就是确定动态规划的方向（其实是在确立递推公式的初始的条件）。比方说，对于一个二维矩阵，我们究竟是从它的右下角往左上角递推，还是从它的左上角往右下角递推呢？对于很多题目来说，似乎两者都是OK的；但是在有些题目里（比如说这道题），可能选择就只有一种了。

对这题来说，我们首先要确定递推公式表示的内容是什么：我们维护一个二维数组dp，数组的元素dp[i][j]表示从起始位置走到该处时，至少应具备多少的血量（也就是到这个地方的时候，最少应该有多少血）。那我们要求的值就是dp[0][0]，也就是从起始位置出发的时候最少应该有多少血。我们的已知条件是：dp[M-1][N-1] = min(1, 1 - map[M-1][N-1])。这个已知条件是怎么来的呢？实际上，我们只需考虑两种情况：

如果map[M-1][N-1] < 0，也就是说到走到这个位置前，骑士血量至少是1-map[M-1][N-1]；
如果map[M-1][N-1] >= 0，那么骑士只要在map[M-1][N-2]或map[M-2][N-1]处达到最低血量的要求——1，走过来就没有问题了。

接下来，我们考虑如何构造递推公式。既然递推公式的初始值从右下角出发，而且dp[i][j]仅与它相邻的右/下两个元素相关，那么我们要做的工作还有两步：

把dp[M-1][ J ]和dp[ I ][N-1]的值都算出来(0 <= J < N-1, 0 <= I < M-1)，对应上图中紫色框的部分；
构造关于dp[i][j]和dp[i][j+1]&dp[i+1][j]的递推式。

在做第二步的时候，我们可以先参考一下第一步的过程，看看能否抽象出它的步骤。求解的示意图如上图所示，我们从右下角绿勾位置出发，往左/上两个角度遍历求解。我们用题目给定的例子来推一下第一步的过程：

先考虑dp[0][2]~dp[2][2]和dp[2][0]~dp[2][2]的值该怎么取，下面给出求解过程。

map矩阵-2   -3   3
-5  -10   10   30  -5dp 矩阵?    ?   ??    ?   ??    ?   max(1, 1-(-5))?    ?   ??    ?   max(max(1, 1-1), 6-1)?    ?   6?    ?   max(max(1, 1-3), 5-3)?    ?   5?    ?   6?    ?   2?    ?   5?    max(1, 6-30)   6?    ?   ??    ?   ?max(1, 1-0)     1   6初始矩阵：?    ?   2?    ?   51    1   6

可以发现在矩阵的最下/右列，递推公式是：

dp[i][N-1] = max(1, dp[i+1][N-1] - map[i][N-1])
dp[M-1][j] = max(1, dp[M-1][j+1] - map[M-1][j])

推而广之即可得到：

由递推公式可知，这道题的空间复杂度是可以优化到O(min(M, N))的，因为它每次递推时，只需要用到上一层的信息。

方法性能

示例代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<string>
#include<vector>
#define LEN 1000using namespace std;int A[LEN][LEN], dp[LEN][LEN], M, N;int main()
{scanf("%d%d", &M, &N);for (int i = 0; i < M; ++i)for (int j = 0; j < N; ++j)scanf("%d", &A[i][j]);dp[M - 1][N - 1] = max(1, 1 - A[M - 1][N - 1]);for (int j = N - 2; j >= 0; --j)dp[M - 1][j] = max(1, dp[M - 1][j + 1] - A[M - 1][j]);for (int i = M - 2; i >= 0; --i){dp[i][N - 1] = max(1, dp[i + 1][N - 1] - A[i][N - 1]);for (int j = N - 2; j >= 0; --j)dp[i][j] = min(max(1, dp[i + 1][j] - A[i][j]), max(1, dp[i][j + 1] - A[i][j]));}printf("%d", dp[0][0]);return 0;
}