最优二叉查找树—动态规划C++

最优二叉查找树

一、问题描述
二、动态规划算法解题思路
三、解题思路图形化
四、思考：为什么输入概率相同（无序），输出结果不一样
- 流程图
- 实例
- 示例代码

一、问题描述

1、问题描述：
基于统计先验知识，我们可统计出一个数表（集合）中各元素的查找概率，理解为集合各元素的出现频率。比如中文输入法字库中各词条（单字、词组等）的先验概率，针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则，以减少用户翻查次数。这就是最优二叉查找树问题：查找过程中键值比较次数最少，或者说希望用最少的键值比较次数找到每个关键码（键值）。为解决这样的问题，显然需要对集合的每个元素赋予一个特殊属性——查找概率。这样我们就需要构造一颗最优二叉查找树。
　　n个键{a1,a2,a3…an},其相应的查找概率为{p1,p2,p3…pn}。构成最优BST,表示为T1n ，求这棵树的平均查找次数C[1, n]（耗费最低)。换言之，如何构造这棵最优BST，使得C[1, n] 最小。

二、动态规划算法解题思路

动态规划法策略是将问题分成多个阶段，逐段推进计算，后继实例解由其直接前趋实例解计算得到。对于最优BST问题，利用减一技术和最优性原则，如果前n-1个节点构成最优BST，加入一个节点 an 后要求构成规模n的最优BST。按 n-1, n-2 , … , 2, 1 递归，问题可解。自底向上计算：C[1, 2]→C[1, 3] →… →C[1, n]。为不失一般性用C[i, j] 表示由{a1,a2,a3…an}构成的BST的耗费。其中1≤i ≤j ≤n。这棵树表示为Tij。从中选择一个键ak作根节点，它的左子树为Tik-1，右子树为Tk+1j。要求选择的k 使得整棵树的平均查找次数C[i, j]最小。左右子树递归执行此过程。（根的生成过程）
引用书上求解递归式：

以输入节点概率：0.10 0.15 0.20 0.25 0.30为例
在计算C[ i ] [ j ]是需要从上往下按对角线计算,：

下面我们来计算C [ 1 ] [ 2 ] :
1<=i<=j<=2;
I<=k<=j;

三、解题思路图形化

下面介绍一种更为直观的三角形计算方法，其实本质没有发生改变，只是把数学公式图形化，方便填表。
求C[i][j]时，设以C[i][i-1],C[j+1][j],C[i][j]三个点形成的直角三角形的次斜边上的值累加和为S(斜)，直角边上对应两点的和为S(直)，显然S[直]有j-i+1个，则C[i][j]=S[斜]+min{S[直]}。更方便的理解为将最优树划分为左右子树，寻求其最小和值（构建最优二叉树），同时也能由k值确认最优的根节点值。
下面举个例子求C[1][3]的值，如图所示：

S(斜)=0.1+0.2+0.4=0.7，S(直)=min{S1(直),S2(直),S3(直)}=min{0+0.8,0.1+0.4,0.4+0}=0.4，则C[1][3]=0.7+0.4=1.1。同理，求C[[2]][[4]]，如下图所示，C[[2]][[4]]=1.4：

四、思考：为什么输入概率相同（无序），输出结果不一样

总结一句话就是：输入数据是有序的，12345分别代表其根值大小，即第一个输入概率对应的值是1，第二个是2，查找的时候并不是根据概率查找，而是根据根值来构造最优二叉查找树。下面详细分析:

输出树不一致
遇到的问题是输入同样的数据，就是各个概率顺序不一样，为什么得到的最优二叉查找树不一样。
例如：每个节点对应的查找概率值：0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

那么最优二叉树画出来就是：

但是当输入概率是：0.25 0.10 0.15 0.20 0.30

那么最优二叉树画出来就是：

从这两个图可以看出来，它们的最优平均查找次数不一样，连树画出来也不一样。刚开始我是考虑怎样最优二叉树的查找，如果按照我刚开始的理解就是按照概率查找，其实是错的。那么按照概率查找，第二种二叉树的画法就出错了，因为从根节点0.15 看，它的左右子节点都比它大，下一步就不知道该查找那边的节点了。
那么我想了一种解决方法，就是像图一的二叉树一样，将二叉树的概率进行升序排序，那么它的查找树就会符合最优二叉树的查找方法，它的左边节点全部小于根节点，右边的左根节点都大于根节点。如果一定要排序的话那么就说明并不具有通用性，这个动态规划的查找最优二叉树的算法就出错了。
那么我就开始考虑是否是我错了，算法算出的每一种结果都是对的，然后我就将所有概率换成了根节点。经过多次的结果验证，发现每个图都符合最优二叉树查找的规律，经过仔细的思考我终于理解了：因为查找的键值是根据根节点，而不是根据概率，而且每个键值都是升序。就像跟几点是1，2 ，3 ，4 ，5，那么它的键值大小排序就是1<2<3<4<5,这也就解释了求概率矩阵的时候为什么c[ I ] [ j ]是i到j时连续的，而不是跳变的。所以这个问题隐藏了一个条件，就是输入的概率对应的键值是升序，那么第二个最优二叉树应该是：

流程图

详细流程图

实例

输入输入概率：0.25 0.10 0.15 0.20 0.30

对应最优二叉查找树：

示例代码

C++写的代码：

//最优二叉查找树
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;//const int maxval = 9999;double BST(int n,double p[],double c[][100],int r[][100])
{for(int i=1;i<=n;i++){c[i][i-1]=0;   //Ci矩阵初始化c[i][i]=p[i];r[i][i]=i;      //R根矩阵初始化}c[n+1][n]=0;for(int d=1;d<n;d++)        //安对角线计算，从第二条对角线开始{for(int i=1;i<=n-d;i++)     //行的取值范围{int j=i+d;          //j求出在对角线上的i对应的double minval=9999;int mink=i;         //最小值对应根点double sum=0;for(int k=i;k<=j;k++){sum=sum+p[k];if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<minval)   //三角形比较法，选最小值{minval=c[i][k-1]+c[k+1][j];mink=k;}}c[i][j]=minval+sum;//得到了最小值r[i][j]=mink;//记录取得最小值时的根节点}}return c[1][n];
}int main()
{while(1){cout<<"input operand :  1  enter   ,2   exit system"<<endl;int ch;cin>>ch;if(ch==2)return 0;else if(ch==1){system("cls");int n;cout << "input the point number" << endl;cin>>n;  //节点个数double p[n];  // 概率数组memset(p,0,sizeof(p));// 将概率数组排序，保证正确cout<<"input each point probability" <<endl;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>p[i];}double c[n+2][100];  //动态ci矩阵int r[n+2][100];    //根矩阵memset(r,0,sizeof(r));memset(c,0,sizeof(c));double s=BST(n,p,c,r);cout << "the minimum compare times is  " << s<<endl;cout << "the minimum probability  matrix is" << endl;for(int i=1;i<=n+1;i++){for(int j=0;j<=n;j++){cout<<std::setw(3);cout << c[i][j] << "    ";}cout << endl;}cout << "the point matrix " << endl;for(int i=1;i<=n+1;i++){for(int j=0;j<=n;j++){cout << r[i][j] << "   ";}cout << endl;}}}
}