动态规划-最优二叉查找树

1.先来看一下最优二叉树：

2.举个例子：

平局比较次数：

计算比较的平均次数：

3.其中最主要的推导公式：

其中：C[i][j]表示二叉查找树T（i,j）的平均比较次数；R[i][j]表示二叉查找树T(i,j)中作为根节点的元素在序列S中的位置；q[i]存储虚节点e0,e1,e2…en；p[i]表示存储序列S中的相应元素的查找概率；每次在计算C（i,j）时都计算Wij的值，把计算的的值存储在W[i][j]中。

1.未优化代码

方法一：这是未优化的代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int inf=0x3f3f3f3f;
double p[maxn];
double q[maxn];
double C[maxn][maxn];
int R[maxn][maxn];
int n;
void OptimalBinarySearchTree(){double w[maxn][maxn];for(int i=1;i<=n+1;i++){C[i][i-1]=q[i-1];w[i][i-1]=q[i-1];}for(int t=1;t<=n;t++){//循环计算各个子问题的最优解for(int i=1;i<=n-t+1;i++){int j=t+i-1;w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j];C[i][j]=inf;R[i][j]=i;for(int k=i;k<=j;k++){double t=C[i][k-1]+C[k+1][j];if(t<C[i][j]){C[i][j]=C[i][k-1]+C[k+1][j];R[i][j]=k;}}C[i][j]+=w[i][j];}}
}
//构造最优解
void BestSolution(int r[maxn][maxn],int i,int j){if(i<=j){BestSolution(r,i,r[i][j]-1);BestSolution(r,r[i][j]+1,j);cout<<"s"<<i<<":s"<<j<<"的根为: "<<r[i][j]<<endl;}
}
int main(){while(scanf("%d",&n)!=EOF){if(n==0)break;p[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&p[i]);}for(int i=0;i<=n;i++){scanf("%lf",&q[i]);}OptimalBinarySearchTree();BestSolution(R,1,5);}return 0;
}
/*
5
0.15 0.1 0.05 0.1 0.2
0.05 0.1 0.05 0.05 0.05 0.1
*/

2.优化代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int inf=0x3f3f3f3f;
double p[maxn];
double q[maxn];
double C[maxn][maxn];
int R[maxn][maxn];
int n;
void OptimalBinarySearchTree(){double w[maxn][maxn];for(int i=1;i<=n+1;i++){C[i][i-1]=0;w[i][i-1]=0;R[i][i-1]=0;}int temp1,temp2;for(int t=1;t<=n;t++){for(int i=1;i<=n-t+1;i++){int j=t+i-1;temp1=R[i][j-1]>i?R[i][j-1]:i;temp2=R[i+1][j]>j?R[i+1][j]:j;w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j];C[i][j]=inf;R[i][j]=temp1;for(int k=temp1;k<=temp2;k++){double t=C[i][k-1]+C[k+1][j];if(t<C[i][j]){C[i][j]=C[i][k-1]+C[k+1][j];R[i][j]=k;}}C[i][j]+=w[i][j];}}
}
void BestSolution(int r[maxn][maxn],int i,int j){if(i<=j){BestSolution(r,i,r[i][j]-1);BestSolution(r,r[i][j]+1,j);cout<<"s"<<i<<":s"<<j<<"的根为: "<<r[i][j]<<endl;}
}
int main(){while(scanf("%d",&n)!=EOF){if(n==0)break;p[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lf",&p[i]);}for(int i=0;i<=n;i++){scanf("%lf",&q[i]);}OptimalBinarySearchTree();BestSolution(R,1,5);}return 0;
}
/*
5
0.15 0.1 0.05 0.1 0.2
0.05 0.1 0.05 0.05 0.05 0.1
*/

输出结果：

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