隔板法求解不定方程的解的个数

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隔板法求解不定方程的解的个数
- 1、求正整数解的个数——普通隔板法
- 2、求非负整数解的个数——添加元素隔板法

1、求正整数解的个数——普通隔板法

将不定方程想象成解决小球的问题：5个小球排成一排，中间形成4个空隙，将两个隔板插入到这4个空隙中，使5个小球被分为3部分：

注：因为要求是正整数，所以每空至多插入一块隔板，否则球被分为2部分，意味着存在为0的解，不符合“正整数”的限制
隔板分割的球数则代表了x1,x2,x3对应的值，解的个数为：C(4,2)=6个

2、求非负整数解的个数——添加元素隔板法

当限制条件变为非负整数时，意味着解的值是可以为0的，代表这在之前求解正整数时“至多一块隔板”的情况在这里就不成立了。
但如果给x1,x2,x3分别+1小球，之前的方法是不是又成立了？
方程转化为：
（x1+1）+(x2+1)+(x3+1)=5+1+1+1=8
那么隔板法就变成将8个小球分为3个部分，如下图所示：

则非负整数解的个数，对应着用2块隔板将8个小球分为3部分的情况，或者理解为将8个相同小球放入3个不同的盒子里，每个盒子不能为空。
最后计算结果：C（a+b-1,b-1）=C（7,2）=21

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