bzoj3698: XWW的难题有上下界的网络流

bzoj3698: XWW的难题

Description

XWW是个影响力很大的人，他有很多的追随者。这些追随者都想要加入XWW教成为XWW的教徒。但是这并不容易，需要通过XWW的考核。
XWW给你出了这么一个难题：XWW给你一个N*N的正实数矩阵A，满足XWW性。
称一个N*N的矩阵满足XWW性当且仅当：（1）A[N][N]=0；（2）矩阵中每行的最后一个元素等于该行前N-1个数的和；（3）矩阵中每列的最后一个元素等于该列前N-1个数的和。
现在你要给A中的数进行取整操作（可以是上取整或者下取整），使得最后的A矩阵仍然满足XWW性。同时XWW还要求A中的元素之和尽量大。

Input

第一行一个整数N,N ≤ 100。
接下来N行每行包含N个绝对值小于等于1000的实数，最多一位小数。

Output

输出一行，即取整后A矩阵的元素之和的最大值。无解输出No。

Sample Input

4
3.1 6.8 7.3 17.2
9.6 2.4 0.7 12.7
3.6 1.2 6.5 11.3
16.3 10.4 14.5 0

Sample Output

129

HINT

【数据规模与约定】
有10组数据，n的大小分别为10,20,30…100。
【样例说明】
样例中取整后满足XWW性的和最大的矩阵为：
3 7 8 18
10 3 0 13
4 1 7 12
17 11 15 0

分析

考虑我们要最大化的目标是整个矩阵的和。
这个时候我们发现行末的和前n-1行和前n-1列的和，列末也是。
并且限制条件也是加在列末和行末的。
因此我们网络流建图的时候可以应用经典模型
s-每一行-每一列-t作为方案的对应。
也就是源点流向每一行。对于每个格点的限制抽象为从这个格点所在的行到所在的列，再把列流向汇点。
最后的答案就是最大流量×3
考虑矩阵中的每一个点，上界和下界都是[⌊ai,j⌋,⌈ai,j⌉][\lfloor a_{i,j}\rfloor,\lceil a_{i,j}\rceil]
所以边的容量都是有上下界的限制条件。按照有源汇有上下界可行流的建图方法建图即可。

题解

/**************************************************************Problem: 3698User: 2014lvzelongLanguage: C++Result: AcceptedTime:48 msMemory:13352 kb
****************************************************************/#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int M = 220000, N = 1100, MQ = 1000, inf = 0x3f3f3f3f;
int to[M], nxt[M], w[M], pre[N], h[N], cur[N], gap[N], Q[N], d[N], n, m, top = 1, s, t, ans, S, T, sum;
double a[N][N];
bool vis[N];
void add(int u, int v, int ww) {to[++top] = v; w[top] = ww; nxt[top] = pre[u]; pre[u] = top;}
void adds(int u, int v, int w) {add(u, v, w); add(v, u, 0);}bool bfs(int t) {for(int i = 0;i <= t + 2; ++i) h[i] = -1, gap[i] = 0;++gap[++h[t]]; int L = 0, R; Q[R = 1] = t;while(L < R) {int u = Q[++L];for(int i = pre[u]; i; i = nxt[i]) if(!(~h[to[i]])) {++gap[h[to[i]] = h[u] + 1];Q[++R] = to[i];}}return ~h[s];
}int dfs(int u, int t, int minf) {if(u == t) return minf;int flow = 0, f;for(int i = cur[u]; i; i = nxt[i]) if(w[i] && h[u] == h[to[i]] + 1) {f = min(w[i], minf - flow);f = dfs(to[i], t, f);flow += f; w[i] -= f; w[i ^ 1] += f;if(w[i]) cur[u] = i;if(minf == flow) return flow;}if(!(--gap[h[u]])) h[s] = t + 2;++gap[++h[u]];cur[u] = pre[u];return flow;
}int sap(int s, int t) {if(!bfs(t)) return 0; int ans = 0;for(int i = 0;i <= t; ++i) cur[i] = pre[i];while(h[s] < t + 2) ans += dfs(s, t, inf);return ans;
}void Del(int u) {for(int i = pre[u]; i; i = nxt[i]) w[i] = w[i ^ 1] = 0;}int main() {scanf("%d", &n); s = (n << 1) + 1; t = s + 1; S = t + 1; T = S + 1;for(int i = 1;i <= n; ++i) for(int j = 1;j <= n; ++j)scanf("%lf", &a[i][j]);for(int i = 1;i <= n; ++i)for(int j = 1;j <= n; ++j) {if(i == n && j == n) continue;int u = i, v = j + n;if(j == n) u = s, v = i; if(i == n) u = j + n, v = t;if(a[i][j] != (int)a[i][j]) {adds(u, v, 1);}d[u] -= (int)a[i][j]; d[v] += (int)a[i][j];}for(int i = 1;i <= t; ++i) if(d[i] > 0) adds(S, i, d[i]), sum += d[i];else if(d[i] < 0) adds(i, T, -d[i]);adds(t, s, inf);if(sap(S, T) != sum) return 0 * puts("No"); ans = w[top]; w[top] = w[top ^ 1] = 0; Del(T); Del(S);ans += sap(s, t); printf("%d\n", ans * 3);return 0;
}