数组和广义表

数组
- - 数组定义
  - - 特点
    - - 常见运算及声明方式
      - 数组的顺序表示和实现
  - 矩阵的压缩存储
  - - 概念
    - 稀疏矩阵
    - 对称矩阵
    - 三角矩阵
- 广义表

数组

数组定义

数组（Array）是有序的元素序列。若将有限个类型相同的变量的集合命名，那么这个名称为数组名。组成数组的各个变量称为数组的分量，也称为数组的元素，有时也称为下标变量。用于区分数组的各个元素的数字编号称为下标。（数组下标也相当于指针，用于指出元素在数组的地址）数组是在程序设计中，为了处理方便，把具有相同类型的若干元素按有序的形式组织起来的一种形式。这些有序排列的同类数据元素的集合称为数组。

例如 m × n m \times n m×n 的一个二维数组（m>=1&&n>=1）：

特点

数组是相同数据类型元素的集合
数组中的各元素的存储是有先后顺序的，它们在内存中按照这个先后顺序连续存放在一起（元素之间地址连续）

常见运算及声明方式

常见运算：
给定数组下标，读写相应元素
C语言中声明方式：
数据类型数组名 [第一维长度][第二维长度]……[第n维长度]
例：二维数组 int a[20][60];

数组的顺序表示和实现

一维数组
以int a[17]为例：
令a[0]的存放地址为Loc(0),每个元素的所占的存储空间为k个空间，那么怎么计算数组中任意一个元素a[i]的存储地址呢？我们来找找规律。

从上可以很容易得出Loc(i)=Loc(0)+i*k
二维数组
二维数组有两种方式将数组元素存储，以列主序，行主序进行存储。
以行主序存储，即是将二维数组中的元素以一行为批次进行存储，如下图：

从图可以·很容易得出以行主序存储时，任意元素在数组中的位置，假设首元素a11地址为Loc(0),每个元素占k个空间，则任意元素位置:Loc(i,j)=Loc(1,1)+[(i-1)*n+(j-1)]*k
(ps:这里下标是从1开始的，如果下标从0开始那么i就减0，其实原理就是把目标位置前面的元素占了多少位置算出来）
以列主序存储，即是以二维数组的一列为批次进行存储，如下图：

此时我们算任意元素的位置时，就要把它前面列的所有元素所占空间算出来，再加上目标元素上方元素的空间，即可算出这个元素的位置：Loc(i,j)=Loc(1,1)+[(j-1)*m+(i-1)]*k

矩阵的压缩存储

概念

若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素的存储空间，且零元素不占存储空间，这就是压缩存储
一些特殊矩阵，如对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩阵等矩阵可以进行压缩

稀疏矩阵

概念：矩阵中非零元素较少（一般小于5%）的矩阵,非0元比0元少，分布无规律的矩阵
压缩：存储行列维数，非0元行列下标及其值
矩阵稀疏程度的表示：稀疏因子δ
δ = δ= δ=t/( m × m× m×n), m × m× m×n矩阵中有t个元素不为0

对称矩阵

概念：顾名思义，即是以矩阵的对角线为轴，两边元素对称的矩阵
如图，上下两边颜色相同的元素，值也相同

在对称矩阵中，出现一半重复元素，所以我们只需要存一般的元素即可，存上三角或者下三角都是可以的，节省空间。
在存储时，我们采用行主序存储，先一行一行的存，即：a11,a21,a22,……an1,an2……ann

则矩阵元素a[i,j]在一维数组中的元素下标：

i>=j时：
第一行一个元素，第二行两个元素，第i行i个元素，所以前i行元素个数是：（i-1)*i/2，而第i行第j个元素前面有j-1个元素，一维数组下标从0开始。

三角矩阵

下三角矩阵

在三角矩阵中，0元素不占空间，所以只需存储非0元素的下三角，其存储用行主序存储，如图：

三角矩阵元素a[i][j]对应的一维数组下标:

但如果说这个三角矩阵的上三角不是0，而是非0常数c，那三角矩阵元素a[i][j]对应的一维数组下标是多少呢？
在这种情况下，我们将常数c存在数组末尾，由于我们上三角这些元素都相同，所以我们就给它一个空间去存，此时它的下标就是n(n+1)/2

上三角矩阵

以列主序存储，则：

矩阵元素a[i][j]对应的一维数组下标：

非0元素i<=j时，第一行n个元素，第二行n-1个数，第i行n-i+1，前i行元素有(i-1)*(2n-i+2)/2个，在第j个元素前有j-i个元素：

当下三角元素非0，而是常数c时：

其对应的一维数组下标为（与上同理）：

广义表

概念：
由n（n>=0）个元素组成的有限序列

广义表存储的单个元素为原子，存储的广义表称为子表
LS=(a1,a2,a3……,an),其中a1是原子项，或者是一个广义表，LS是广义表的名字n为它的长度，若a1为广义表，则称为LS的子表。
若广义表非空，则：
a1表中第一个元素称为表头
其余元素组成的子表称为表尾
广义表中所包含元素（包括原子和子表）的个数称为表的长度
广义表中括号的最大层数称为表深度（表的层数就是去数有多少个括号）
如图：

特点：
广义表的元素可以是原子，可以是子表，子表的元素又可以是子表
广义表本身可以是一个递归表
根据对表头表尾的定义，任何一个非空广义表的表头可以是原子，也可以是子表，而表尾必定是广义表

今日的分享就到这里了，如有错误，敬请指正，祝大家学习愉快

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