数据结构之数组与广义表

联系

数组和广义表可看作一种扩展的线性数据结构，其特殊性在于数据元素的构成上。从组成线性表的元素角度看，数组是由具有某种结构的数据元素构成，广义表则是由单个元素或子表构成的。数组和广义表是线性表的推广。

数组

1.数组的定义
从逻辑结构上，数组可以看成是对一般线性表的扩充。一维数组即为线性表，而二维数组可以定义为其数据元素为一维数组（线性表）的线性表。以此类推，N维数组是数据元素为N-1维数组的线性表。
2.数组的顺序存储
原因： 一旦给定数组的维数n及各维长度bi（1≤i≤n），则该数组中元素的个数就是确定的，数组的基本操作不涉及数组结构的变化。因此对于数组而言，采用顺序存储表示比较适合。
方法： 内存储器的结构是一维的，对于一维数组可直接采用顺序存储，用一维的内存存储表示多维数组，就必须按照某种次序将数组中元素排成一个线性序列，然后将这个线性序列存放在一维的内存储器中，这就是数组的顺序存储结构。
分类： 按行序存储和按列序存储
二维数组A_m✖n 以行为主的存储序列为：
a₁₁,a₁₂,…,a_1n,a₂₁,a₂₂,…,a_2n,…,a_m1,a_m2,…,a_mm
以列为主的存储序列为：
a₁₁,a₂₁,…,a_m1,a₁₂,a₂₂,…,a_m2,…,a_1n,a_2n,…,a_mn
计算：
（1）一维数组的地址计算
Loc(A[i])=Loc(A[1])+(i-1)✖size
（2）二维数组的地址计算
如果每个元素占size个存储单元：
Loc(A[i][j])=Loc(A[1][1])+((i-1)✖n+(j-1))✖size
如果每个元素占一个存储单元：
Loc(A[i][j])=Loc(A[1][1])+(i-1)✖n+(j-1)
（3）三维数组的地址计算
Loc(A[i][j][k])=Loc(A[1][1][1])+((i-1)✖m✖n+(j-1)✖n+(k-1))✖size
当 j₁，j₂，j₃的下限分别为c₁，c₂，c₃，上限分别为d₁,d₂,d₃时
Loc(A[j1][j2][j3])=Loc(A[c1][c2][c3])+(j1-c1)✖((d2-c2+1)✖(d3-c3+1)+(j2-c2)✖(d3-c3+1)+(j3-c3))✖size
（4）n维数组的地址计算
Loc(A[j1][j2]…[jn])=Loc(A[c1][c2]…[cn])+Σ(i=1到n)a_i✖(j_i-c_i)
其中，a_i=size✖Π(k=i+1到n)(d_k-c_k+1),1≤i≤n
3.特殊矩阵的压缩存储
（1）规律分布的特殊矩阵
这类矩阵中元素分布的规律可以用数学公式来反映，通常利用这些规律将其压缩存储于一维数组中。
三角矩阵：

下三角矩阵中元素a_ij(i≥j)，在一维数组中的存储单元的下标为：
Loc(A[i][j])=Loc(A[1][1])+(i✖(i-1)/2+j-1)
注意：对于对称矩阵，因其元素满足a_ij=a_ji，我们可以为每一对相等的元素分配一个存储空间，即只存下三角（或上三角）矩阵，从而将n²个元素压缩到n(n+1)/2个空间中
带状矩阵：

Loc(A[i][j])=Loc(A[1][1])+(3(i-1)-1+j-i+1)✖size
=Loc(A[1][1])+(2(i-1)+j-1)✖size
（2）稀疏矩阵

稀疏矩阵指的是大多数元素为0的矩阵。从直观上讲，当非零元素个数低于总元素的30%时，这样的矩阵为稀疏矩阵。
稀疏矩阵的三元组表表示法：
稀疏矩阵的三元组表类型定义

#define MAXSIZE 1000         /*非零元素的最大个数*/
typedef struct
{int row,col;               /*非零元素的行下标和列下标*/ElementType e;              /*非零元素的值*/
}Triple;
typedef struct
{Triple data[MAXSIZE+1];       /*非零元素的三元组表，data[0]未用*/int m,n,len;              /*矩阵的行数，列数和非零元素的个数*/
}TSMatrix;

对于稀疏矩阵的压缩存储，采取只存储非零元素的方法。由于稀疏矩阵中非零元素a_ij的分布没有规律，因此，在存储非零元素值的同时，还必须存储非零元素在矩阵中所处的行号和列号，这就是稀疏矩阵的三元组表表示法。

稀疏矩阵的转置运算
第一步：将三元组表中的行列对换
第二步：若转置后的三元组表以行序为主序存放，则对转置后的三元组表按行标递增排列，反之亦然。
稀疏矩阵的链式存储结构：十字链表
十字链表的类型定义：

typedef struct OLNode
{int row,col;               /*非零元素的行下标和列下标*/ElementType value;struct OLNode *right,*down;   /*非零元素所在行表，列表的后继链域*/
}OLNode;*OLink;
typedef struct
{OLink *row_head,*col_head; /*行、列表的头指针向量*/int m,n,len;              /*稀疏矩阵的行数、列数、非零元素的个数*/
}CrossList;

为了避免大量移动元素，使用十字链表，能够灵活插入因运算而产生的新的非零元素，删除因运算而产生的新的非零元素，实现矩阵的各种运算。

除了（row,col,value）以外，还要添加两个链域：right用于链接同一行中的下一个非零元素，down用于链接同一列中的下一个非零元素。表示如下：

广义表

1.广义表的概念
广义表是n个数据元素（d₁,d₂,…d_n）的有限序列，d_i既可以是单个元素，还可以是一个广义表，通常记作GL=（d₁,d₂,…d_n）。其中d₁是广义表表头，GL其余部分组成的表（d₂,d₃,…d_n）称为广义表表尾。
2.广义表的存储结构
由于广义表中的数据元素既可以是单个元素，也可以是子表，因此对于广义表来说，难以用顺序存储结构来表示它，通常用链式存储结构来表示。
（1）广义表的头尾链表存储结构
任何一个非空的广义表都可以将其分解成表头和表尾两部分，繁殖，一对确定的表头和表尾可以唯一的确定一个广义表。因此:
表结点：由三个域构成，标志域、指向表头的指针域和指向表尾的指针域
元素结点：只需两个域，标志域和值域
广义表头尾链表存储结构类型定义

typedef enum {ATOM,LIST} ElemTag;/*ATOM=0,表示原子；LIST=1，表示子表*/
typedef struct GLNode
{ElemTag tag;               /*标志位tag用来区分原子结点和表结点*/union{AtomType atom;          /*原子结点的值域atom*/struct {struct GLNode *hp,*tp;} htp;/*表结点的指针域htp，包括表头指针域hp和表尾指针域tp*/}atom_htp;                    /*atom_htp是原子结点的值域atom和表结点的指针域htp的联合体域*/
}GLNode,*GList;

（2）广义表的同层结点链存储结构
这种结构中，表结点和元素结点都由三个域构成
表结点：标志域、指向表头的指针域和指向表尾的指针域
元素结点：标志域、值域和指向表尾的指针域
广义表的同层结点链存储结构类型定义如下

typedef enum {ATOM,LIST} ElemTag;/*ATOM=0,表示原子；LIST=1表示子表*/
typedef struct GLNode
{ElemTag tag;union{AtomType atom;struct GLNode *hp;     /*表头指针域*/}atom_hp;                  /*atom_hp是原子结点的值域atom和表结点的表头指针域hp的联合体域*/struct GLNode *tp;          /*同层下一个结点的指针域*/
}GLNode,*GList;

3.广义表的操作
以头尾链表为例
（1）求广义表L的表头

GList Head(GList L)
{if(L==NULL)                  /*空表无表头*/return 0;if(L->tag==ATOM)         /*原子不是表*/exit(0);elsereturn(L->atom_htp.htp.hp);
}

（2）求广义表L的表尾

GList Tail(GList L)
{if(L==NULL)                  /*空表无表尾*/return(0);if(L->tag==ATOM)            /*原子不是表*/exit(0);elsereturn(L->atom_htp.htp.tp);
}

（3）求广义表L的长度

int Length(GList L)
{int k=0;GLNode *s;if(L==NULL)return(0);if(L->tag==ATOM)exit(0);s=L;while(s!=NULL){k++;s=s->atom_htp.htp.hp;}return(k);
}

（4）求广义表L的深度

int Depth(GList L)
{int d,max;GLNode *s;if(L==NULL)return(1);if(L->tag==ATOM)return(0);s=L;while(s!=NULL){d=Depth(s->atom_htp.htp.hp);if(d>max)max=d;s=s->atom_htp.htp.hp;}return(max+1);                /*表的深度等于最深子表的深度加一*/
}

（5）求广义表L中原子数目

int CountAtom(GList L)
{int n1,n2;if(L==NULL)return(0);if(L->tag==ATOM)return(1);n1=CountAtom(L->atom_htp.htp.hp);  /*求表头中的原子数目*/n2=CountAtom(L->atom_htp.htp.tp);  /*求表尾中的原子数目*/return(n1+n2);
}

（6）复制广义表L
复制S表至T表

int CopyGList(GList S,GList *T)
{       if(S==NULL)                           /*复制空表*/{*T=NULL;return(1);}*T=(GLNode*)malloc(sizeof(GLNode));if(*T==NULL)return(0);(*T)->tag=S->tag;if(S->tag==ATOM)(*T)->atom=S->atom;                /*复制单个原子*/else{CopyGList(S->atom_htp.htp.hp,&((*T)->atom_htp.htp.hp));/*复制表头*/CopyGList(S->atom_htp.htp.tp,&((*T)->atom_htp.htp.tp));/*复制表尾*/}return(1);
}

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