极线约束(epipolar constraint)

原文地址：http://blog.csdn.net/volkswageos/article/details/6474202

http://blog.csdn.net/tianwaifeimao/article/details/19544861

极线几何约束

在双目立体视觉测量中，立体匹配（对应点的匹配）是一项关键技术，极线几何在其中起着重要作用。双目立体视觉系统中，有两个摄像机在不同角度拍摄物理空间中的一实体点，在两副图像上分别成有有两个成像点。立体匹配就是已知其中的一个成像点，在另一副图像上找出该成像点的对应点。极线几何约束是一种常用的匹配约束技术。

极线约束是一种点对直线的约束，而不是点与点的约束，尽管如此，极线约束给出了对应点重要的约束条件，它将对应点匹配从整幅图像寻找压缩到在一条直线上寻找对应点。

极线

如果曲线的切于A,B两点的切线相交于P点,那么P点称为直线AB关于该曲线的极点(pole),直线AB称为P点的极线(polar).
　　极点和极线的思想是曲线上点和过该点切线的思想的一般化.任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线,每一条直线都有一个极点.如果点在这条曲线上,那么极线就是曲线过该点的切线.

三维空间中一点p，投影到两个不同的平面I1、I2，投影点分别为p1，p2。

p、p1、p2在三维空间内构成一个平面S。

S与面I1的交线L1过p1点，称之为对应于p2的极线。同理S与I2的交线称之为对应于p1

的极线（对应于左边图像点的极线在右边图像上，右边与之相同）。如图：

所谓极线约束就是说同一个点在两幅图像上的映射，已知左图映射点p1，那么右图映射点p2一

定在相对于p1的极线上，这样可以减少待匹配的点数量。

对于极线约束方程可以由以下来表示：

三维向量x和x'存放相关点，F为一个3*3且秩为2的基础矩阵，那么：

且左右两个平面的两条极线的方程为（注意 ’）：

对于两条直线，以连续点的方式存储：I和I‘分别在左右两幅图像上，若他们俩有对应关系，那么认为他们两条直线之间的点依次的存在对应关系

对于左侧图像中直线I上的一点x，那么对应于右侧图像中直线I’中的点x‘可以按照下面方式求得：

对应于x的极线为I'e，I'e与直线I‘的交点为x对应的点x’因此：

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