流动模型、物质导数与速度散度的物理意义

在推导流体流动的基本方程之前，通常有几个概念需要了解，分别是：流动模型、物质导数与速度散度。

1. 流动模型

对于有连续性的流体，常构造有限控制体和无穷小流体微团两种模型。这两种模型又分别细分为空间位置固定的有限控制体（或无穷小微团）和随流体运动的有限控制体（无穷小微团）。

1.1 有限控制体

假设在流动区域内划出一个有限的封闭的控制体，称为控制体，围成控制体的闭曲面S称为控制面。直接将物理学基本原理运用于有限控制体，得到的流体流动方程将是积分形式的。进行处理后可导出偏微分方程组。对于空间位置固定的有限控制体，这样得到的方程组，无论是积分形式还是偏微分形式的，都称为守恒型控制方程。对于随流体运动的有限控制体，得到的方程为非守恒型控制方程。

1.2 无穷小流体微团

设想流动中一个无穷小流体微团，其体积微元是。但它又必须足够大，大到包含了大量的流体分子，使它能够被看成是连续介质。将物理学基本原理运用于有限控制体，得到的流体流动方程将是偏微分方程形式的。对于空间位置固定的流体微团，得到偏微分方程组为守恒型方程。对于随流体运动的流体微团，得到的方程为非守恒型方程。

图1 流动模型：（a）空间位置固定的有限控制体，（b）随流体运动的有限控制体，（c）空间位置固定的无穷小微团，（d）随流体运动的无穷小微团

2. 物质导数

一个帮助理解物质导数的小例子：设想你在山里徒步旅行，正要进入一个山洞。如果洞内比洞外凉爽，当你经过洞口时，你会感到温度降低，这就好比迁移导数。再假设此时一个朋友抛过来一个雪球，恰好在你通过洞口的瞬间击中了你。当你被雪球击中时，你会感觉到一个额外的、瞬时的温度下降，这就好比当地导数。（无论你是否移动，向哪移动，是否进入洞内，被雪球击中的感觉是一样的）。

图2 物质导数示意图

3. 速度散度

考虑图3所示，随流体运动的控制体，它是由相同流体粒子组成的，质量固定，不随时间变化。在图3中，考虑控制体表面上以当地速度运动的一个无穷小面元。在时间增量内的运动所导致的控制体体积变化是一个以为底，以为高的细长柱体体积。在时间增量内所导致的控制体体积变化表达式为：

因此，速度散度的物理意义为：每单位体积运动着的流体微团，体积相对变化的时间变化率。

图3 运动的控制体

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