最小生成树问题

最小生成树问题是针对无向图的，事实上在计算机里存储的无向图，都是双向图。只有连通图才有生成树，图的生成树，就是包含了图的所有节点和部分边，但是没有环的子图。因为这个子图是一棵树，所以叫生成树。
最小生成树指的是权重和最小的生成树。
如以下就是一个无向图：

下面是它的一棵生成树：

但是这棵树毫无疑问不是最小生成树，因为它删除的是环中权重最小的边，最小生成树应该是删除环中最长的边，以下才是最小生成树：

几个概念

交叉cross，在我的博文最大流最小割定理里讲到了割的概念，交叉就是边的两端分布在割的两部分，也就是说这个边是割的边界处的连接边。
尊重respect，一个割尊重一个边的集合指的是这个集合里的所有边，都不与割交叉。
轻边light edge，割的交叉边里权重最小的边。
安全边sage edge，这个概念比较复杂。对于一个边的集合A，任意尊重A的割中的轻边就是安全边。

一般算法与Prim算法

一般算法，就是先从空集合开始构建边集A，然后不断寻找A的安全边，再把安全边加入到A中，直到把图的所有点都包含进去，此时A就是最小生成树。
Prim算法，就是选择割的时候做了唯一限定。因为一般算法里，割是任意选择的。Prim算法是以边集内包含的点为界限来选择割的。这样就唯一了。我以实际案例举个例子，以下是无向加权图图：

以点A为起始点：

安全边肯定是指向B喽：

这时候安全边有两个，A-C和B-D，按顺序选C吧：

下一个安全边明显是CF：

下一个安全边是CD和FG，按顺序选CD：

再选FG：

最后是FE：

Python代码

# _*_ coding:utf-8
class Edge:def __init__(self, to, weight):self.__to = toself.__weight = weight@propertydef to(self):return self.__to@to.setterdef to(self, to):self.__to = to@propertydef weight(self):return self.__weight@weight.setterdef weight(self, weight):self.__weight = weightWHITE = 0
GRAY = 1
BLACK = 2class WeightedGraph:def __init__(self, vertices, edges):self.__vertices = verticesself.__edges = edges@propertydef vertices(self):return self.__vertices@vertices.setterdef vertices(self, value):self.__vertices = value@propertydef edges(self):return self.__edges@edges.setterdef edges(self, value):self.__edges = valuedef prim_mst(self):# 初始化为空a = [[] for _ in self.vertices]s = [False for _ in self.__vertices]s[0] = Trues_len = 1n = len(self.__vertices)pos = ["0,0!", "2,1!", "2,-1!", "4,0!", "6,1!", "6,-1!", "8,0!", ]print(f"第{s_len}步", self.to_prim_dot(pos, s, a))while s_len < n:v, edge = self.safe_edge(s)a[v].append(edge)# 反向也要添加一下，因为是双向图a[edge.to].append(Edge(v, edge.weight))s[edge.to] = Trues_len += 1print(f"第{s_len}步", self.to_prim_dot(pos, s, a))return adef safe_edge(self, s):# 寻找安全边# 所有的边min_weight = Nonesage_edge = Nonestart = Nonefor v, exists in enumerate(s):if not exists:continueneighbors = self.__edges[v]for neighbor in neighbors:if s[neighbor.to]:continue# 此时是crossif min_weight is None or neighbor.weight < min_weight:min_weight = neighbor.weightsage_edge = neighborstart = vreturn start,sage_edgedef to_dot(self, pos):dot_s = 'graph s {\n\tlayout=fdp\n'for i, v in enumerate(self.__vertices):dot_s += f'\t"{v}"[pos="{pos[i]}"];\n'for i, e in enumerate(self.__edges):for t in e:if t.to < i:continuedot_s += f'\t\"{self.__vertices[i]}\"--"{self.__vertices[t.to]}"[label="{t.weight}"];\n'dot_s += '}\n'return dot_sdef to_prim_dot(self, pos, s, a):dot_s = 'graph s {\n\tlayout=fdp\n'for i, v in enumerate(self.__vertices):dot_s += f'\t"{v}"[pos="{pos[i]}";'if s[i]:dot_s += 'style=filled;fillcolor=red;'dot_s += '];\n'for i, e in enumerate(self.__edges):for t in e:if t.to < i:continuedot_s += f'\t\"{self.__vertices[i]}\"--"{self.__vertices[t.to]}"[label="{t.weight}";'for st_edge in a[i]:if st_edge.to == t.to:dot_s += 'color=red;'dot_s += '];\n'dot_s += '}\n'return dot_s

案例的测试类代码

import unittestfrom com.youngthing.graph.prim_mst import Edge
from com.youngthing.graph.prim_mst import WeightedGraphclass PrimMstTestCase(unittest.TestCase):def test_prim(self):# 做一张图vertices = [ 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G',]# 设计容量edges = [[Edge(1, 4), Edge(2, 8), ],#a[Edge(0, 4), Edge(2, 9), Edge(3, 8), Edge(4, 10)],#B[Edge(0, 8), Edge(1, 9), Edge(3, 2), Edge(5, 1)],#C[Edge(1, 8), Edge(2, 2), Edge(4, 7), Edge(5, 9)],#D[Edge(1, 10), Edge(3, 7), Edge(5, 5), Edge(6, 6)],#E[Edge(2, 1), Edge(3, 9), Edge(4, 5), Edge(6, 2)],#f[Edge(4, 6), Edge(5, 2)],#g]fn = WeightedGraph(vertices, edges)pos = ["0,0!", "2,1!", "2,-1!", "4,0!", "6,1!", "6,-1!", "8,0!", ]print(fn.to_dot(pos))tree = fn.prim_mst()print(WeightedGraph(vertices, tree).to_dot(pos))if __name__ == '__main__':unittest.main()

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