字符串匹配算法是非常常见的算法。考虑长度为nnn的文本（text）字符串A[1,2,⋯,n]A[1,2,\cdots,n]A[1,2,⋯,n]，长度为mmm的匹配（pattern）字符串B[1,2,⋯,m]B[1,2,\cdots,m]B[1,2,⋯,m]，并且m≤nm\leq nm≤n。暴力求解（brute-force）的匹配算法十分直接。将BBB逐位与AAA进行对比，直到BBB完全匹配AAA的某个子串。例如，先拿BBB与A[1,2,⋯,m]A[1,2,\cdots,m]A[1,2,⋯,m]匹配，如果失败，尝试匹配BBB与A[2,3,⋯,m+1]A[2,3,\cdots,m+1]A[2,3,⋯,m+1]，以此类推，直到匹配BBB与A[n−m+1,⋯,n]A[n-m+1,\cdots,n]A[n−m+1,⋯,n]。该方法的时间复杂度为O(mn)O(mn)O(mn)，详细的分析可以参考参考文献[2]。
Knuth, Morris和Pratt三人提出了时间复杂度为线性的KMP算法。该算法将时间复杂度从暴力求解的O(mn)O(mn)O(mn)降低为O(n+m)O(n+m)O(n+m)。下面详细讨论该算法，主要参考参考文献[1]。
考虑下面的图示，其中文本字符串记为TTT，匹配字符串记为PPP。匹配字符串为P=′ababaca′P='ababaca'P=′ababaca′。当匹配进行到(a)所示的这一步时，PPP相对于TTT移动了sss位，并且前5位均能正确匹配，匹配失败在第6位。此时，P[6]=′c′P[6]='c'P[6]=′c′，对应的T[s+6]=′a′T[s+6]='a'T[s+6]=′a′。假如我们正在使用暴力求解算法，当前的匹配失败后，此时我们需要将PPP向右再移动移位，即总体相对于TTT移动s+1s+1s+1位，使得P[1]=′a′P[1]='a'P[1]=′a′对准T[s+2]=′b′T[s+2]='b'T[s+2]=′b′，开始新的匹配。显然，这样的匹配也是失败的，并且在第一位就失败了。于是，继续移动PPP，将它右移一位，使得P[1]=′a′P[1]='a'P[1]=′a′对准T[s+3]=′a′T[s+3]='a'T[s+3]=′a′，再次开始匹配。
在观察上面的匹配过程的时候，我们发现，其实我们在PPP移动sss位的这次匹配失败后，可以直接右移两位，而不是一位。右移两位是因为我们可以看到T[s+2]=′a′=P[1]T[s+2]='a'=P[1]T[s+2]=′a′=P[1]，而移动移位之后对准的T[s+1]T[s+1]T[s+1]显然和P[1]P[1]P[1]不相等。这种移位，减少了不必要的匹配。

在右移两位之后，开始新的匹配，如(b)所示，此时需要考虑一个问题，那就是我们还需要从第一位P[1]P[1]P[1]开始匹配吗？显然不是，从图中可以看出，P[1,2,3]P[1,2,3]P[1,2,3]已经和T[s+3,s+4,s+5]T[s+3,s+4,s+5]T[s+3,s+4,s+5]匹配好了，只需要从P[4]P[4]P[4]开始匹配。如此一来，相较于暴力求解，又减少了匹配次数。可问题是，我们怎么知道前几是匹配好了，然后从某个点开始新匹配呢？例如在(b)中，我们如何知道前3个点是匹配的，从而从第4个点开始匹配？显然，在(a)的匹配中，我们已经比较过[s+3,s+4,s+5][s+3,s+4,s+5][s+3,s+4,s+5]的值了，因此我们可以通过某种手段，将他们的信息储存起来，这种储存方式不一定是显性的，他可以是某种隐含地方式。
为实现上面分析的想法，我们引入一个辅助（auxiliary）序列π[1,2,⋯,m]\pi[1,2,\cdots,m]π[1,2,⋯,m]，他和PPP等长。辅助序列是实现上述算法思想的关键。从(a)到(b)的关键是需要知道P[1]P[1]P[1]和T[s+1]T[s+1]T[s+1]往后的元素中的哪一个是匹配的，我们就把PPP移动到P[1]P[1]P[1]与之对齐。在(a)中，匹配失败于P[6]P[6]P[6]，假如辅助序列的相邻位可以提供给我们信息，告诉我们现在可以右移2位，使得P[1]P[1]P[1]与T[s+3]T[s+3]T[s+3]是匹配的，那我们的想法就实现了。比如π[5]\pi[5]π[5]这个元素告诉我们可以右移2位，即π[5]=2\pi[5]=2π[5]=2。
实际上，π\piπ中的元素π[i]\pi[i]π[i]表示的是在序列B[1,2,⋯,i]B[1,2,\cdots,i]B[1,2,⋯,i]中，最多有前π[i]\pi[i]π[i]个元素和后π[i]\pi[i]π[i]个元素对应相等，即B[1,2,⋯,π[i]]=B[i−π[i]+1,i−π[i]+3⋯,i]B[1,2,\cdots,\pi[i]]=B[i-\pi[i]+1,i-\pi[i]+3\cdots,i]B[1,2,⋯,π[i]]=B[i−π[i]+1,i−π[i]+3⋯,i]。例如，上图中的PPP对应的π\piπ为π=[0,0,1,2,3,0,1]\pi=[0,0,1,2,3,0,1]π=[0,0,1,2,3,0,1]。有了π\piπ，我们再来看如何由(a)变到(b)。在(a)中，匹配于P[6]P[6]P[6]失败，于是我们查询其前一位的辅助序列元素π[5]=3\pi[5]=3π[5]=3。π[5]=3\pi[5]=3π[5]=3意味着P[1,2,3]=P[3,4,5]P[1,2,3]=P[3,4,5]P[1,2,3]=P[3,4,5]。此外，我们的匹配在P[6]P[6]P[6]失败，意味着之前的匹配是成功的，于是有T[s+1,⋯,s+5]=P[1,⋯,5]T[s+1,\cdots,s+5]=P[1,\cdots,5]T[s+1,⋯,s+5]=P[1,⋯,5]，结合P[1,2,3]=P[3,4,5]P[1,2,3]=P[3,4,5]P[1,2,3]=P[3,4,5]，于是有P[1,2,3]=P[3,4,5]=T[s+3,s+4,s+5]P[1,2,3]=P[3,4,5]=T[s+3,s+4,s+5]P[1,2,3]=P[3,4,5]=T[s+3,s+4,s+5]，于是我们需要将PPP右移π[6−1]−1=2\pi[6-1]-1=2π[6−1]−1=2位，使得P[1,2,3]P[1,2,3]P[1,2,3]与T[s+3,s+4,s+5]T[s+3,s+4,s+5]T[s+3,s+4,s+5]对齐。新的匹配从P[4]P[4]P[4]与T[s+6]T[s+6]T[s+6]开始。需要注意的是，从(a)到(b)，虽然PPP移位了，并且新的匹配点变成了P[4]P[4]P[4]，但是TTT的匹配点并没有变，仍然是T[s+6]T[s+6]T[s+6]。
辅助序列π\piπ的生成算法如下。他的思想是，对于某个π[q]\pi[q]π[q]，k=π[q−1]k=\pi[q-1]k=π[q−1]，这意味着P[1,2,⋯,k]=P[q−k+1,q−k+2,⋯,q]P[1,2,\cdots,k]=P[q-k+1,q-k+2,\cdots,q]P[1,2,⋯,k]=P[q−k+1,q−k+2,⋯,q]。比较当前P[k+1]P[k+1]P[k+1]是否与P[q]P[q]P[q]匹配，如果匹配，则π[q]=k+1\pi[q]=k+1π[q]=k+1。如果不匹配，则寻找前面某个kkk，使得P[k+1]=P[q]P[k+1]=P[q]P[k+1]=P[q]。寻找前面的某个kkk，我们还得使匹配序列的长度尽量大，因此，令k=π[k]k=\pi[k]k=π[k]。

KMP的主算法如下，它调用了上面的辅助序列生成算法，并且与辅助序列生成算法在形式上十分相似。

下面分析KMP算法的时间复杂度。很多网上的博客都没有讲清楚其复杂度的分析，大多数点出用摊还（amortized）分析法，这里我们直接引用参考文献[2]的分析方法，简单易懂。由于KMP主算法的结构与序列生成算法几乎一样，所以我们分析序列生成算法的时间复杂度，KMP主算法的分析类似可得。
序列生成算法的时间复杂度主要由第5行的for循环里面的内容决定。第10行的赋值，其时间复杂度是O(m)O(m)O(m)，这是显然的。剩下的需要分析的是第7行和第9行的执行次数。这两行均是对kkk的值进行改变，因此我们研究一下kkk的取值区间。在刚进入for循环的时候，kkk被赋值为0，而qqq被赋值为2。在for循环中，只有第9行执行的时候，kkk才增加1。而每一次for循环，qqq都会增加1。每次循环不一定执行第9行。于是，我们知道，整个算法中，都有k<q≤mk<q\leq mk<q≤m。进一步，第10行赋值π[q]=k\pi[q]=kπ[q]=k，因此，π[q]<q\pi[q]<qπ[q]<q。换个符号，也等价于π[k]<k\pi[k]<kπ[k]<k。所以，第7行的赋值意味着减小kkk。至此，我们知道，第7行减小kkk，第9行增加kkk，并且k<q≤mk<q\leq mk<q≤m。因为第9行执行的次数最多为mmm，所以第7行执行的次数也不会超过mmm次。综上，序列生成算法中所有步骤的时间复杂度均是O(m)O(m)O(m)，所以算法的总时间复杂度就是O(m)O(m)O(m)。同理，KMP主算法的时间复杂度是O(n)O(n)O(n)，整个KMP算法的时间复杂度是O(n+m)O(n+m)O(n+m)。

参考文献

[1] Cormen T H, Leiserson C E, Rivest R L, et al，Introduction to algorithms，2009。
[2] 阮行止，如何更好地理解和掌握 KMP 算法?，2020-02-23。

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