本节书摘来自异步社区出版社《MATLAB智能算法超级学习手册》一书中的第1章，第1.3节，作者：MATLAB技术联盟 , 高飞 , 许玢更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

1.3 符号变量的应用

MATLAB智能算法超级学习手册
符号变量在解决工程问题中的应用较多。对于一个工程问题而言，一般首先从变量出发，把问题用符号变量表示出来（得到符号矩阵），然后通过符号变量求解得到一般表达式，再根据该表达式，代入相应的初始条件，即可得到问题的具体的解。

本节主要从符号变量与实际生活实证分析出发，应用符号变量求解质点系转动惯量、油罐剩余油量体积和光的反射定理等问题。

1.3.1 质点系的转动惯量问题
已知在平面上的n个质点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)，…，P n (x n ,y n)，其质量分别为m 1，m 2，…，m n。请确定一个点P(x,y)，使得质点系关于此点的转动惯量最小。

1.3.2 油罐剩余油量体积的求解**
油罐在一般的加油站均有应用。如何求油罐剩余油量的体积是一个亟待解决的问题。例如，如图1-9（a）所示，一平放的椭圆柱体形状的油罐，长度为L，椭圆的长半轴为a，短半轴为b，油的密度为ρ，问：当油罐中油的高度为h时，油量是多少？

解：由题意可知，该柱体在长度方向上是均匀的，故在此取该椭圆柱体的一横截面进行分析探讨，如图1-9（b）所示。

图1-9 椭圆柱油罐

假设椭圆柱体的横截面为标准的椭圆形，且椭圆柱体完好无损，放置平稳，外界干扰可忽略不计；椭圆柱体里油高为h的油面与所建坐标系上的椭圆柱体横截面相交，且一交点为A点，A点坐标为(x,y)。

该模型结果符合题目要求。程序如下：

>> syms a b h y L
m=sqrt(b^2-y^2);
m1=int(m);
m2=int(m,'-b','n')
m2 =(b^2*asin(b/(b^2)^(1/2)))/2 + (b^2*asin(n/(b^2)^(1/2)))/2 + (n*(b^2 - n^2)^(1/2))/2>>　m3=subs(m2,'n','y');
>> S=2*a/b*m3;
>> simplify(S)
ans =
a*b*(asin(b/(b^2)^(1/2)) + asin(y/(b^2)^(1/2))) + (a*y*(b^2 - y^2)^(1/2))/b>>　V=S*L
V =
(2*L*a*((b^2*asin(b/(b^2)^(1/2)))/2 + (b^2*asin(y/(b^2)^(1/2)))/2 + (y*(b^2 - y^2)^(1/2))/2))/b>> V=2*a/b*(1/2*y*(b^2-y^2)^(1/2)+1/2*b^2*atan(y/(b^2-y^2)^(1/2)))*L;
>> y=h-b;
>> V1=subs(V,'y','h-b')
V1 =
-(2*L*a*((b^2*atan((b - h)/(b^2 - (b - h)^2)^(1/2)))/2 + ((b^2 - (b - h)^2)^(1/2)*(b - h))/2))/b>> simplify(V1)
ans =
- L*a*b*atan((b - h)/(b^2 - (b - h)^2)^(1/2)) - (L*a*(b^2 - (b - h)^2)^(1/2)*(b - h))/b>>

1.3.3 光的反射定理的论证
光的发射定理最早由费马提出（费马原理）光总是沿用时最短的光程传播。试根据这一原理利用极值的有关知识证明光的反射定律：入射角等于反射角。下文将借助于符号变量证明入射角等于反射角。

根据题意，光线的入射、反射过程可由图1-10直观地表示出来。在图1-10中，光线从1入射，反射到2点。

针对图1-10所示的光线反射路径图，假设一束自然光线沿路径L 10照射到x轴，y轴设为实物体表面，且为理想状态，光线传播过程中无阻碍，与法线y轴的夹角为θ 1；光线经实物体表面x轴反射后，沿路径L 02反射，与法线y轴的夹角为θ 2。由费马原理可得，路径L 10、路径L 02为直线；光线从1点到2点在坐标轴上的竖直方向上的投影相等，且为H；光在空气中传播的速度为光线在真空中传播的速度C；1点与2点之间的距离为定值I；光线从L 10到L 02所需时间为T。

>> syms H C K x
>> T=(H/C)*((1/cos(x))+[1+(K-tan(x))^2]^(1/2));
>> dfdx=diff(T,x)
dfdx =
H/C*(1/cos(x)^2*sin(x)+1/(1+(K-tan(x))^2)^(1/2)*(K-tan(x))*(-1-tan(x)^2))
>> a=solve(dfdx,'x');
>> tan(a)
ans =1/2*K1/2*K