数字图像处理(Digital Image Processing)是通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。本专栏将以学习笔记形式对数字图像处理的重点基础知识进行总结整理，欢迎大家一起学习交流！
专栏链接：数字图像处理学习笔记

1 图像退化/复原过程的模型

2 噪声模型

3 空间域滤波复原（唯一退化是噪声）

图像复原的空间滤波器

均值滤波

统计排序滤波器

自适应滤波器

4 频率域滤波复原（目的：削减周期噪声）

4.1 带阻滤波器

理想带阻滤波器

n阶的巴特沃思带阻滤波器

高斯带阻滤波器

4.2 带通滤波器

4.3 陷波滤波器

理想陷波带阻滤波器

n阶巴特沃思陷波带阻滤波器

高斯陷波带阻滤波器

陷波带通滤波器：通过包含在陷波区的频率

1 图像退化/复原过程的模型

什么是退化？

成像过程中的“退化”，是指由于成像系统各种因素的影响，使得图像质量降低。

引起图像退化的原因

成像系统的散焦
成像设备与物体的相对运动
成像器材的固有缺陷
外部干扰

图像退化的一种现象——图像模糊

常见退化图像

什么是图像复原？

图像复原可以看作图像退化的逆过程，是将图像退化的过程加以估计，建立退化的数学模型后，补偿退化过程造成的失真
在图像退化确知的情况下，图像退化的逆过程是有可能进行的
但实际情况经常是退化过程并不知晓，这种复原称为盲目复原
由于图像模糊的同时，噪声和干扰也会同时存在，这也为复原带来了困难和不确定性

图像复原与图像增强的区别？

与图像增强相似，图像复原的目的也是改善图像质量
图像增强主要是一个主观过程，一般要利用人的的视觉系统特性，目的是取得较好的视觉效果，不需要考虑图像退化的真实物理过程，增强后的图像也不一定要逼近原始图像;而图像复原主要是一个客观过程,需要针对图像的退化原因设法进行补偿，因此需要对图像的退化过程有一定的先验知识，利用图像退化的逆过程去恢复原始图像，使复原后的图像尽可能的接近原图像。
对比度拉伸被认为是一种图像增强，提供给用户喜欢接收的图像；而图像复原技术追求恢复原始图像的最优估计值
图像复原技术可以使用空间域或频率域滤波器实现

图像退化/复原过程的模型

降质过程可看作对原图像f (x,y)作线性运算。

给定 $g(x,y)$ ， $H(u,v)$ 和 $\eta (x,y)$ ,怎样获得关于原始图像的近似估计 $f(x,y)$ ？

如果系统H是一个线性、移不变的过程，退化图像可以表示为

$h(x,y)$ 表示退化系统的系统函数。

有噪声情况下的图像复原

必须知道噪声的统计特性以及噪声和图像信号的相关情况，这是非常复杂的。在实际应用中，往往假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常数，且与图像不相关。
不同的复原技术需要不同的有关噪声的先验信息，如维纳滤波器需要知道噪声的谱密度，而约束去卷积法只需要知道噪声的协方差。

2 噪声模型

噪声的来源

数字图像的噪声主要来源于图像的获取和传输过程；
图像获取的数字化过程，如图像传感器的质量和环境条件；
图像传输过程中传输信道的噪声干扰，如通过无线网络传输的图像会受到光或其它大气因素的干扰；

噪声的空域特性

独立于空间坐标；
与图像本身无关；（独立、不相关）

噪声的频域特性

白噪声：傅里叶谱是常量

一些重要的噪声模型

高斯噪声
瑞利噪声
伽马（爱尔兰）噪声
指数分布噪声
均匀分布噪声
脉冲噪声（椒盐噪声）

①高斯噪声

高斯噪声的概率密度函数(PDF)

当z服从上式分布时，其值有70%落在，有95%落在范围内。
高斯噪声的产生源于电子电路噪声和由低照明度或高温带来的传感器噪声。

②瑞利噪声

瑞利噪声的概率密度函数（PDF）

距离原点的位移是a
函数曲线向右变形

③伽马（爱尔兰）噪声

伽马（爱尔兰）噪声的概率密度函数（PDF）

伽马噪声应用在激光成像中

④指数分布噪声

指数分布噪声的概率密度函数（PDF）

指数分布是当b=1时爱尔兰分布的特殊情况;
指数分布噪声在激光成像中有些应用

⑤均匀分布噪声

均匀分布噪声的概率密度函数（PDF）

均匀分布噪声在实践中描述较少，但均匀密度分布作为模拟随机数产生器的基础非常有用。

⑥脉冲噪声（椒盐噪声）

脉冲噪声（椒盐噪声）的概率密度函数（PDF）

如果pa或pb为零，则脉冲噪声称为单极脉冲
如果pa或pb均不为零，则脉冲噪声称为双极脉冲噪声或椒盐噪声,在图像上表现为孤立的亮点或暗点
脉冲噪声可以为正，也可为负标定以后，脉冲噪声总是数字化为最大值（纯黑或纯白）（因为噪声强度一般比图像信号大）
通常，负脉冲以黑点（胡椒点）出现，正脉冲以白点（盐点）出现
脉冲噪声表现在成像中的短暂停留中，例如，错误的开关操作。

几种噪声的运用

高斯噪声用于描述源于电子电路噪声和由低照明度或高温带来的传感器噪声
瑞利噪声用于在图像范围内特征化噪声现象
伽马分布和指数分布用于描述激光成像噪声
均匀密度分布作为模拟随机数产生器的基础
脉冲噪声用于描述成像中的短暂停留（如错误的开关操作）

结论

上述噪声图像的直方图和它们的概率密度函数曲线对应相似;
前面5种噪声的图像并没有显著不同，椒盐噪声是唯一的视觉可区分的噪声模型;
但它们的直方图具有明显的区别

周期噪声

在图像获取中从电力或机电干扰中产生.
是空间相关噪声.
周期噪声可以通过频率域滤波显著减少.

典型的周期噪声---正弦噪声

噪声参数的估计

典型的周期噪声参数是通过检测图像的傅里叶谱来进行估计的。

周期噪声趋向于产生频率尖峰，这些尖峰甚至通过视觉分析也经常可以检测到。
另一种方法是尽可能直接从图像中推断噪声分量的周期性，但这仅仅在非常简单的情况下才是可能的。

当噪声尖峰格外显著或可以使用关于干扰的频率分量一般位置的某些知识时，自动分析是可能的。

计算小块图像的灰度值的均值和方差。考虑由S定义的一条子带(子图像)

$\mu =\sum_{z_{i}\epsilon S}^{ } z_{i}p(z_{i})$
$\sigma ^{2} =\sum_{}^{z_{i}\epsilon S}}(z_{i}-\mu )^{2}p(z_{i})$

其中 $z_{i}$ 值是像素的灰度值
$p(z_{i})$ 表示相应的归一化直方图

3 空间域滤波复原（唯一退化是噪声）

当唯一退化是噪声时，则退化系统 $H(u,v)=1$

噪声项未知，不能从 $g(x,y)$ 或 $G(x,y)$ 减去噪声。（如果是周期噪声，也许可以）
可以选择空间滤波方法进行图像复原

图像复原的空间滤波器

均值滤波：算术均值滤波器、几何均值滤波器、谐波均值滤波器、逆谐波均值滤波器
统计排序滤波器：中值滤波器、最大值滤波器、最小值滤波器、中点滤波器、修正后的阿尔法均值滤波器
自适应滤波器：自适应局部噪声消除滤波器、自适应中值滤波器

均值滤波

①算术均值滤波器

$S_{xy}$ 表示中心在(x,y)，尺寸为m×n的矩形窗口
平滑了一幅图像的局部变化
在模糊了结果的同时减少了噪声
善于处理高斯噪声等

②几何均值滤波器

$S_{xy}$ 表示中心在(x,y)，尺寸为m×n的矩形窗口
几何均值滤波器所达到的平滑度可以与算术均值滤波器相比
但几何均值滤波器在滤波过程中，与算术均值滤波器相比，会丢失更少的图像细节——相对锐化(细节保留更好)
善于处理高斯噪声等

③谐波均值滤波器

$S_{xy}$ 表示中心在(x,y)，尺寸为m×n的矩形窗口
谐波均值滤波器对于“盐”噪声效果好，但不适用于“胡椒”噪声
善于处理椒盐噪声等

④逆谐波均值滤波器

$S_{xy}$ 表示中心在(x,y)，尺寸为m×n的矩形窗口
Q称为滤波器的阶数。当Q为正数时，用于消除“胡椒”噪声；当Q为负数时，用于消除“盐”噪声，但不能同时消除“椒盐”噪声
当Q=0，逆谐波均值滤波器转变为算术均值滤波器
当Q=-1，逆谐波均值滤波器转变为谐波均值滤波器
善于处理椒盐噪声等

总结

算术均值滤波器和几何均值滤波器适合于处理高斯或均匀等随机噪声
谐波均值滤波器适合于处理脉冲噪声
缺点：必须事先知道噪声是暗噪声还是亮噪声，以便于选择合适的Q符号

统计排序滤波器

①中值滤波器

在相同尺寸下，比起均值滤波器引起的模糊少
对单极或双极脉冲噪声非常有效
善于处理椒盐噪声等

②最大值滤波器

用于发现图像中的最亮点（保留）
可以有效过滤“胡椒”噪声（因为“胡椒”噪声是非常低的值）
善于处理椒盐噪声等

③最小值滤波器

用于发现图像中的最暗点（保留）
可以有效过滤“盐”噪声（因为“盐”噪声是非常高的值）
善于处理椒盐噪声等

④中点滤波器

结合了顺序统计和求平均
对于高斯和均匀随机分布这类噪声有最好的效果

⑤修正后的阿尔法均值滤波器

在 $S_{xy}$ 邻域内去掉 $g(s,t)$ 的 $\frac{d}{2}$ 个最高灰度值点的和 $\frac{d}{2}$ 个最低灰度值点, $g_{r}(x,t)$ 代表剩余的 $mn-d$ 个像素

当 $d=0$ ，退变为算术均值滤波器, $d=\frac{mn-1}{2}$ ，退变为中值滤波器

当 $d$ 取其它值时，适用于包括多种噪声的情况，例如高斯噪声和椒盐噪声混合的情况

自适应滤波器

行为变化基于由 $m\times n$ 矩形窗口 $S_{xy}$ 定义的区域内图像的统计特性
与前述滤波器相比，性能更优
但也增加了算法复杂性

包括

自适应、局部噪声消除滤波器
自适应中值滤波器

①自适应、局部噪声消除滤波器

滤波器作用于局部区域 $S_{xy}$ ,其响应基于以下3个统计量：

$\sigma _{\eta }^{2}$ －－噪声方差
$m_{L}$ －－在 $S_{xy}$ 上像素点的局部均值
$\sigma _{L}^{2}$ －－在 $S_{xy}$ 上像素点的局部方差

滤波器的预期性能如下：

如果 $\sigma _{\eta }^{2}=0$ （零噪声），滤波器返回 $g(x,y)$ 的值。
如果局部方差 $\sigma _{\eta }^{2}$ 与 $\sigma _{L}^{2}$ 高相关，滤波器返回一个 $g(x,y)$ 的近似值
如果 $\sigma _{\eta }^{2}=\sigma _{L}^{2}$ ，滤波器返回区域 $S_{xy}$ 上像素的算术均值。这样局部噪声用求平均来降低

基于上述假定的自适应表达式：

唯一需要知道或估计的未知量是噪声方差 $\sigma _{\eta }^{2}$
其它参数可以从 $S_{xy}$ 中的像素计算出来

②自适应中值滤波器

传统中值滤波器只能处理空间密度不大的冲激噪声 $(p_{a},p_{b}<0.2)$ ,而自适应中值滤波器可以处理具有更大概率的冲激噪声
可以在平滑非冲激噪声时保存细节，而传统中值滤波器无法做到

主要目的

除去“椒盐”噪声（冲激噪声）
平滑其它非冲激噪声
减少物体边界细化或粗化等失真

自适应中值滤波器：定义下列符号

$Z_{min}$ =局部区域 $S_{xy}$ 中灰度级的最小值
$Z_{max}$ =局部区域 $S_{xy}$ 中灰度级的最大值
$Z_{med}$ =局部区域 $S_{xy}$ 中灰度级的中值
$Z_{xy}$ ＝在坐标 $(x,y)$ 上的灰度级
$S_{max}$ =局部区域 $S_{xy}$ 允许的最大尺寸

自适应中值滤波器：算法

A层：检测 $Z_{med}$ 是否是一个噪声脉冲
计算:
如果 $A_{1}>0$ 且 $A_{2}<0$ （满足 $Z_{min}$ < $Z_{med}$ < $Z_{max}$ ，说明 $Z_{med}$ 不是脉冲噪声）转到B层
否则（说明 $Z_{med}$ ＝ $Z_{min}$ 或 $Z_{med}$ = $Z_{max}$ ）,增大窗口尺寸如果窗口尺寸≤ $S_{max}$ ，重复A层，否则,输出 $Z_{med}$
B层：检测将被处理的中心点 $Z_{xy}$ 本身是否是一个脉冲
计算：
如果 $B_{1}>0$ 且 $B_{2}<0$ （满足 $Z_{min}$ < $Z_{xy}$ < $Z_{max}$ ，说明 $Z_{xy}$ 不是脉冲），输出 $Z_{xy}$ (不改变“中间水平”的点)
否则（说明 $Z_{xy}$ ＝ $Z_{min}$ 或 $Z_{xy}$ = $Z_{max}$ ,即: $Z_{xy}$ 是脉冲噪声）,输出 $Z_{med}$ (标准的中值滤波处理)

4 频率域滤波复原（目的：削减周期噪声）

4.1 带阻滤波器

阻止一定频率范围内的信号通过而允许其它频率范围内的信号通过，消除或衰减傅里叶变换原点处的频段

理想带阻滤波器
巴特沃思带阻滤波器
高斯带阻滤波器

带阻滤波器的主要作用之一是：在频域噪声分量的一般位置近似已知的应用中消除噪声

缺陷：对单频噪声效果好，对多频干扰无效

理想带阻滤波器

$W$ 是频带的宽度， $D_{0}$ 是频带的中心半径

n阶的巴特沃思带阻滤波器

高斯带阻滤波器

$W$ 是频带的宽度， $D_{0}$ 是频带的中心半径

4.2 带通滤波器

允许一定频率范围内的信号通过而阻止其它频率范围内的信号通过

$H_{bp}(u,v)$ 表示带通滤波器， $H_{br}(u,v)$ 表示相应的带阻滤波器

通常不会在图像上直接应用带通滤波器；

带通滤波器主要用于：屏蔽选中频段的图像；

4.3 陷波滤波器

阻止或通过事先定义的中心频率邻域内(陷波区)的频率
由于傅里叶变换是对称的，陷波滤波器必须以关于原点对称的形式出现
如果陷波滤波器位于原点处，则以它本身形式出现

陷波带阻滤波器：抑制包含在陷波区的频率

滤波器的对数可以任意；
陷波区形状可以任意；

理想陷波带阻滤波器

中心在 $(u_{0},v_{0})$ 且在 $(-u_{0},-v_{0})$ 对称

n阶巴特沃思陷波带阻滤波器

高斯陷波带阻滤波器

注：当 $u_{0}=v_{0}=0$ ,上述3个滤波器变为高通滤波器

陷波带通滤波器：通过包含在陷波区的频率

$H_{np}(u,v)$ 是陷波带通滤波器， $H_{nr}(u,v)$ 是对应的陷波带阻滤波器

当 $u_{0}=v_{0}=0$ 时，陷波带通滤波器变为低通滤波器

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4.1 带阻滤波器

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n阶的巴特沃思带阻滤波器

高斯带阻滤波器

4.2 带通滤波器

4.3 陷波滤波器

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